M
23
1 OA 2 1 (OB OC) 6 32
A
Q P
C
1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
一、向量的直角坐标运算
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 ) , 则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
i, j, k上的分向量。
pP
k
iO j
y
Q
这种分解我们把它叫做空间向 x 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
oj
a
x
在空间中，能得出类似的结论:
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
空间向量运算 的坐标表示
空间直角坐标系 z
从空间某一个定点O引三条
互相垂直且有相同单位长度的
数轴，这样就建立了空间直角
坐标系O-xyz．
O
y
x 点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，
|CA1|cos(A1CB)|CB|1
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
使 a 1e1 2e2
说明： (1)不共线的向量e1, e2 叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
(3) 任一向量 a 都可以沿两个不共线的方向（e1, e2 的
这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称
为xOy平面、 yOz平面和 xOz平面．
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四 指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转
90o 指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.
我们也称这样的坐标系为右手系．
说明:
☆本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系.
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
z
e3
e1
O e2

A(x,y,z) y
z
解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5 A1
所以C1为(3,2,5)
D1
从而
A C 1(3,2,5)3i2j5k (2)因为点D1为(3,0,5)
所A 以 1D (3,0,5)
(A) O
D
x
B1 C1
By C
设a xi y j zk, 那么 a i (xi y j zk) i xi i y j i zk i 由于ii |i|21, 而i j,i j 0同理ki 0 所 a i以 x 同 a j理 y ,a k z
a (a1, a2 , a3 )( R)
A1
(1)向量 CA1在CB上的投 ; 影 D
解:(1)向量CA1在CB上的投;影 A
|CA1 |cosA1CB|CB|1
C1 B1
C B
D1
例2.如图,已知单位正方体 A1
ABCD-A1B1C1D1,求
D
(2)BC是单位向,且 量垂直于平A面
ABB1A1,求向量 CA1在BC上的投.影 解:(2)向量 CA1在BC上的投影为
我 们 把 aix,ajy,akz分 别 称 为 向 量 a 在 x轴 ,y轴 ,z轴 正 方 向 上 的 投 影 . 向量的坐标等于 标它 轴在 正坐 方向上. 的
一般地,若b0为b的单位向量, 称ab0 | a | cos a,b 为向量a在向量b上的投影.
例2.如图,已知单位正方体
D1
ABCD-A1B1C1D1,求
方向）分解成两个向量（1e1, 2e2）和的形式；
(4)基底给定时,分解形式唯一.
例题讲解
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OP OM MP 1 OA 2 MN
O
23
1 OA 2 (ON OM )
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk. OQ xi y j.
OP OQ zk xi y j zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
复习： 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j