必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．
[难点正本
疑点清源]
1．正确理解频率与概率的关系 概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一 个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能 事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小 于1. 对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频 率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的 时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试
(3)若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成 一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决
赛．用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰
好都在90分及以上的概率．
解 (1)2.
(2)64.
(3)依题意得第四组的频数是2，第五组的频数也是2，设第四组的2名学生 分别为A1、A2，第五组的2名学生为B1、B2，列表(或画树状图)如下:
基础自测
1．(2011· 连云港)已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 1 ，下列 2 说法正确的是( ) A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 答案 解析 D 抛一枚均匀硬币双方赢的概率都是
第19课
概率的应用
基础知识
自主学习
要点梳理
1. 概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的
结果．
2. 概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之 上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生
的频率近似地作为该事件发生的概率．
3. 模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物 进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但
探究提高 本题每捕捞一次就相当于做了一次试验，因此大量 重复的试验获取的频率可以估计概率．
知能迁移2
从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发
芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数 发芽频率
85 0.850
298 0.745
652 0.815
793 0.793
解 4 (1)P(黑球)＝ . 7 3＋x 1 (2) ＝ ，7＋x＋y＝4(x＋3)，7＋x＋y＝4x＋12， 7＋x＋y 4 ∴y＝3x＋5.
易错警示
12．不能准确用列表法或树状图法求等可能事件的概率 试题 如图，电路图中有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭
合开关D或同时闭合A、B、C都可使小灯泡发光．
随机捕捞中，共抓到鲤鱼 320 条，鲢鱼 400 条，估计池 塘中原来放养了鲢鱼________条． 答案 10000
解析 鲢鱼 400 5 根据捕捞的情况，可得 ＝ ＝ ，则可估计整个 320 4 鲤鱼
池塘鲢鱼与鲤鱼的比也为 5∶4，所以池塘可能放养了鲢鱼 5 8000× ＝10000 条，应填 10000. 4
1604 0.802
4005 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为
___ ． (精确到0.1)
答案 0.8
题型三
概率与统计综合题
【例 3】下表抄录了北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门 票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下： 比赛项目 足球 票价(张/元) 1 000
A1B2C2，A1B3C1，A1B3C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2， A2B3C1，A2B3C2 共有 12 种路线，恰好选到 B2 的有 4 种， 4 1 概率 P＝ ＝ . 12 3
题型二
用统计频率的方法估计概率
【例 2】
池塘中放养了鲤鱼 8000 条，鲢鱼若干，在几次
验中，同一个随机事件发生的频率可以彼此不相等．比如抛掷一 1 枚普通硬币，硬币落地后“正面朝上”的概率是 .当试验次数少 2 的 1 时候，“正面朝上”的频率有可能是0，有可能1或者是其他的数， 2 但是，经过大量的重复试验，“正面朝上”的频率会稳定在
2．用频率估计概率 谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生，但是，在 相同条件下，进行大量的试验后，事件出现的频率会逐渐稳定， 稳定后的频率可以作为概率的估计值．反之，如果知道一个事件 发生的概率，就可以由此推断：大量试验后该事件发生的频率接 近其概率． 需要注意的是：用试验的方法得出的频率只是概率估计值， 要想得到近似程度比较高的概率估计值，通常需要大量的重复试 验．
A1 A1 A2 B1 B2 —— A2、A1 B1、A1 B2、A1
A2 A1、A2 —— B1、A2 B2、A2
B1 A1、B1 A2、B1 —— B2、B1
B2 A1、B2 A2、B2 B1、B2 ——
由上表可知共有 12 种结果，其中两个都是 90 分及以上的 1 有 2 种结果，所以恰好都是在 90 分及以上的概率 P＝ . 6
批阅笔记 正确地列表或画出树状图，利用公式求概率，关键是 找出在这一试验中所有可能的结果总数，以及事件本身所包含 的结果数．
思想方法
方法与技巧
感悟提高
1. 确定可能事件发生的概率大小，可分为以下两种情形． 情形一：不用做实验，直接从理论上推算出该可能事件发生 的概率． 情形二：无法凭公式计算或理论上推导而得概率值，只能通 过大量重复进行同一实验后，用稳定的频率值来估计该可能发生 的概率． 2. 游戏是否公平取决于双方赢的概率是否相等．
1 A. 9
答案 A
1 B. 3
2 C. 3
2 D. 9
1 解析 可先求出上午选中孔氏南宗庙的概率是 ，下午选中 3 1 1 1 1 江郎山的概率是 ，所以本题的答案 P＝ × ＝ . 3 3 3 9
4．(2011· 绍兴)在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个
黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出 一个球，它是白球的概率为 2 ，则黄球的个数为( ) 3 A．2 B．4 C．12 D．16
探究提高
本题可列举所有的情况，求出结果．
3
知能迁移 1
(2010· 连云港)从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，
从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路线，从丙地到丁地有 C1、 C2 两条路线，一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，求 他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
解 ∵从甲地到丁地的路线，有 A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，
800 男篮 依据上列图表，回答下列问题： x 乒乓球 (1)其中观看足球比赛的门票有________张；观看乒乓球比赛的门票占全
部
门票的________%； (2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门 票 的条件下，每人抽取一张(假设所有的门票形状、大小、质地完全相 同 且充分洗匀)，则员工小华抽到男篮门票的概率是________； (3)若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，求每张乒乓球门票 的
题型四
【例 4】
概率与方程、函数的综合
(2009· 济南)有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数
字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从 中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达
式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，把上
面标有的数字记作一次函数表达式中的b. (1)写出k为负数的概率；
D．m＋n＝8
解析
m＋n 8 据题意，有 ＝ ，则 m＋n＝8. m＋8＋n m＋8＋n
题型分类
深度剖析
题型一 计算等可能事件的概率
【例 1】如图，随机闭合开关S1、
S2、S3中的两个，求能让灯泡
发光的概率．
解
∵随机闭合关开S1、S2、S3中的两个，共有3种情况： S1S2、S1S3、S2S3.能让灯泡发光的有S1S3、S2S3两种情况， ∴能让灯泡发光的概率为 2 .
(2)求一次函数y＝kx＋b的图象经
过二、三、四象限的概率． (用树状图或列表法求解)
解
2 (1)因为 k 为负数的情况有两种，所以 k 为负数的概率 P＝ . 3 (2)
k、b 的取值情况共有 6 种，要使图象经过二、三、四象限， 则 k<0，b<0，而其中 k<0 且 b<0 的情况有 2 种，所以经过 2 1 第二、三、四象限的概率是 ＝ . 6 3
回答下列问题：
(1)第四组的频数为________(直接写答案)；
(2)若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，
59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～ 100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成
绩评为“D”的学生约有________名(直接填写答案)；
失误与防范
1．解决分类问题的关键是找出分类的动机，即为什么要分类；找 出分类的对策，即怎样分类；分类要逐级展开，不重不漏，最后总结． 例如：一个袋内装有红色、白色球各一个，从中可放回地摸两次， 两次都摸到白色球的概率是多大？ 错解：所有可能出现的结果共有3种，表格如下： 可能出现的情况 相应概率
(红、红)
(1)任意闭合一个开关，则小灯泡发光的概率等于________； (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小 灯泡的发光的概率．
学生答案展示
剖析
1 1 (1) (2) 2 4 本题是结合物理电路图的概率问题，关键是理解电路图，
理解概率的意义．
正解 1 (1) 4 1 (2) 2
正确画出树状图如下：
答案 B
解析
8 2 设盒子中有 x 只黄球， ＝ ，则 x＝4. 8＋x 3