完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m种不同的方法，在第2类方 案中有n种不同的方法. 那么完成这件事 共有N=m+n种不同的方法.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 B大学 数学
生物学
化学 医学 物理学
会计学
信息技术学 法学
注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步” 可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般 是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类 计数原理和分步计数原理．
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？
例 6. (a1 ＋ a2)· (b1 ＋ b2 ＋ b3)· (c1 ＋ c2 ＋ c3 ＋ c4) 的展开式中有
4、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是 自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？




我们可排出所有的分配方案： （1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案 如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙； （2）甲取得丙卡，方案为： 丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲； （3）甲取得丁卡，方案为： 丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲. 由分类计数原理，共有3+3+3=9种. 另外，此题也可分步解决： 第一步：甲取一张，有3种取法； 第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法； 第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法； 第四步：最后一人取，只有一种取法. 由分步计数原理得不同取法有3×3×1×1=9种.
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏 ) ⑵分类── 类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业， 则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个 专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到 这名同学可能的专业选择共有 6+4=10种 这种算法有什么问题？
[例 2]从 1,2，3，…,10 中选出 3 个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有 多少个？
[例 3] 三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6，若将三张卡片并列，可得到几个 同的三位数（6 不能作 9 用）.
[例 4]集合 A＝｛1,2，3,4｝ ，集合 B＝｛－1，－2｝ ，可建立多少个以 A 为定义域 B 为值域 的不同函数？
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以 乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3×2＝6 种不同的走法．
问题2：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉 伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的 方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个 不同的号码？
分步乘法计数原理
完成一件事需要分二个步骤，在第1步中 有m种不同的方法，在第2步中有n种不同 的方法. 那么完成这件事共有 种不同的方法.
在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不 能出现相同的。
思考？
问题1：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙 地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有 3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多 少种不同的走法 ？
这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用 乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地； 而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤， 才能从甲地到乙地．
分步计数原理
分类计数原理
引入课题
一学生从外面进入教室有多少 种走法？若进来再出去，有多少 走法？
2010年6月11日——7月10日在南非举行的第19届世界杯足 球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛， 决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后 决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排 了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到计数原理的知识．它是一 个重要的数学方法，粗略地说，计数原理就是研究 按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做 法． 在运用计数原理经常要用到分类加法计数原理与 分步乘法计数原理。
[例 5] 用 0，1,2，3,4，5 这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数？ （5）可以组成多少个数字不重复的大于 3000，小于 5421 的四位数？
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
注:分步──步步相乘.
例4：某区的部分电话号码是8776××××,后面
每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个 不同的电话号码?
练习





1、 由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重 复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有5种选法， 第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选 法． 根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125． 答：可以组成125个三位数．
问题 1：用一个大写的英文字母或一个阿拉 伯数字给教室里的座位编号，总共能够编 出多少种不同的号码？ 问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以 乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那 么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地 共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
分类加法计数原理
跟踪训练 1
少个：
用0,1，„，9这十个数字，可以组成多
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
巩固练习
1.填空： ①一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人会用第 1 种方法完 成，另有 4 人会用第 2种方法完成，从中选出 1 人来完成这件 工作，不同选法的种数是 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从 A村经B村去C村，不同的路线有 条. 2. 现有高中一年级的学生 3 名，高中二年级的学生 5 名， 高中三年级的学生4名. ①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选 法？ ②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多 少种不同的选法？
小结： 分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解
决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决， 它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据， 而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类” 间互相独立，“步”间互相联系．
分类计数原理
分步计数原理
区别1
完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。 区别3
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
__ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_____项.
解析 要得到项数分三步：
第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法； 第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法； 第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法. 由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项).
例7.由0,1,2,3，4,5这五个数字，可组成多少个： (1)无重复数字的三位数？其中能被5整除共有几个？ (2)可以有重复数字的三位数？
N mn
例3：设某班有男生30名，女生24名. 现要 从中选出男、女生各一名代表班级参加比 赛，共有多少种不同的选法？
探究：如果完成一件事情需要n个步骤，做每 一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
一般归纳
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
各步之间是互相关联的。
各类办法是互相独立的。
即：类类独立，步步关联。
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法? （3）从书架上任取2种不同类型的书各1本， 有多少种不同的取法？
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。
1. 在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？
2．某艺术组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴，3 人会小号， 从中选出会钢琴与会小号的各 1 人，有多少种不同的选法？
3. 某地提供 A、B、C、D 四个企业供育才中学高三年级 3 个班级进行社会实践活动，其中 A 是明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中 任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有多少种
3. 从甲地到乙地有 2种走法，从乙地到丙地有 4 种走 法，从甲地不经过乙地到丙地有 3种走法，则从甲地 到丙地的不同的走法共有 种. 4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备 推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代 表大会，共有 种不同的推选方法.