§ Z 变换➢ Z 变换的定义及收敛域【习题】1. 假如)(n x 的z 变换代数表示式是下式，问)(z X 可能有多少不同的收敛域。

)83451)(411(411)(2122----+++-=z z z z z X 【分析】）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0, , 0 0, , 0, 0 0, 0 , 0 22112121∞==<<≤≤<≤<<≥≥∞≤<≥∞<<≤∞<≤≥∞≤<≤≤∞<<+-++--z z R z R n n R z n n R z n n z R n n z R n z n z n n n z x x x x x x解：对X (Z )的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(211(2111111----+-+-=Z jZ jZ Z X (Z )的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4∴ X (Z )的收敛域为：(1) 1/2 < | Z | < 3/4，为双边序列，见图一(2) | Z | < 1/2，为左边序列，见图二(3) | Z | > 3/4，为右边序列，见图三图一 图二 图三)431)(211)(411()211)(211()(11211-----++++-=Z Z Z Z Z Z X➢ Z 反变换【习题】2. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为)1)(211(1)(11----=z z z X(a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。

(b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 )(n x ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。

【注意】不管哪种表示法最后求出 x (n ) 应该是相同的。

解：(a) 因为11122111)(---+--=z z z X 且x(n)是右边序列 所以 )()212()(n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (b)1221211 )1)(21(21231 )1)(21()(2-+--+=---+=--=z z z z z z z z z X )()212( )1(2)1(21)()( n u n u n u n n x n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ则➢ Z 变换的基本性质和定理【习题】3. 对因果序列，初值定理是)(lim )0(z X x z ∞→=，如果序列为 0>n 时0)(=n x ，问相应的定理是什么？)( n x 讨论一个序列，其z 变换为：值。

试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X 【分析】这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的〗，将它们各自的)0(x 相加即得所求。

)0()(lim )2()1()0( )()(:,0)(,0020x z X z x z x x zn x z X n x n z n n =+-+-+===>→--∞=-•••∑所以此时有：有时当序列满足解： 若序列)(n x 的Z 变换为：21,2 )()()(21 32 4 )21)(2(24191272512419127)(21212211==∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z z z z z z z z z z z X 的极点为）（）（ 由题意可知：X (Z )的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：221<<z 31)0()0()0(31213lim )(lim )0(024lim)(lim )0( )( 0 )( 2122010121=+=∴=-===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z z X x n x n n x z z z z ）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则 2112512419127)(---+--=z z z z X4. 有一信号)(n y ，它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的关系是：)1()3()(21+-*+=n x n x n y其中 )(21)(1n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，)(31)(2n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 已知 111)]([--=az n u a Z n ，a z >，。

变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z 【分析】。

则）（：注意移位定理 )()()( )(*)()( 2)( )()( )()( )()( )1(212111z X z X z Y n x n x n y z X z m)n x(z X z m n x z X n x z X n x -m m ==↔+-↔+↔-↔--解：根据题目所给条件可得：112111)(-Z -−→←z n x 123111)(--−→←z n x Z 131211)3(--−→←+⇒z z n x Z 21>z z z X n x Z 3111)()(122-=−→←-- 311>-z z z n x Z311)1(12-−→←+-- 3<z 而 )1( )3()(21+-*+=n x n x n y所以 [][])1()3()(21+-⋅+=n x Z n x Z z Yz z z z 311211113-⋅-=-- )21)(3(33---=z z z➢ Z 变换与傅里叶变换的关系【习题】5. 求以下序列)(n x 的频谱)(ωj e X 。

(1) )(0n n -δ (2) )(n u ean - (3) )()(0n u e n j ωα+- (4) )cos()(0n n u e an ω-【分析】可以先求序列的Z 变换)(z X 再求频率ωωωj j j e z z X e X e X ==)()( )(即)(ωj e X 为单位圆上的Z 变换，或者直接求序列的 傅里叶变换∑∞-∞=-=n n j j e n x e X ωω)()(解： 对题中所给的)(n x 先进行z 变换再求频谱得：[][]0)( )()( )1(0n z n n Z n x Z z X -=-==•••δ ωωω0 |)()(jn e z j ez X e X j -===∴ []111 )()()2(----==•••z e n u e Z z X a an ωωωj a e z j e e z X e X j --=-==∴11 |)()( []1)()(0011)()()3(-+-+--==•••z e n u e Z z X j n j ωαωα)(011 |)()(ωωαωω+--=⋅-==∴j e z j e e z X e X j[])cos()()()4(0n n u e Z z X an ω-=••• aa a e z e z e z 220101cos 21cos 1------+--=ωω ∴ωωj e z j z X e X ==|)()(a j a j a j ee e e e e 2200cos 21cos 1------+--=ωωωωω6. 若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证：⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j【分析】利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 ωπωωππωd e e X e X n x n x n j j j )()(21)(*)(2121⎰-= ，而 )()(21)0()0(0)(*)( 212121ωπωππωd e X e X x x n n x n x j j ⎰-===再利用)()(21n x n x 、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:⎰-∴⋅=∴⋅=*=ππωωωωωωωπd e e X e X e X e X e Y z X z X z Y n x n x n y n j j j j j j )()(21)()()( )()()( )()()( 21212121则设 )()()()(2121n x n x n y d e e Y n j j *===⎰-ππωωωπ)0()0( )()( |)()( )()(21 21002102121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*=∴===-∑⎰ππωωωπ⎰⎰--==•••ππωωππωωωπωπd e e X n x d e e X n x n j j n j j )(21)( )(21)(2211 ∴⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(11 ⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(22 ⎰⎰⎰---=∴ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j。

和即可得到所需的时，当 )(arg )( 5ωωj j e X e X N =➢ 序列的傅里叶变换【习题】7. 求)()(5n R n x =的傅里叶变换。

【分析】这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。

解：根据傅里叶变换的概念可得：[]ωωωωωωωωωω2121222121011 1 )()( j j N j N j j N j j N n N j e e e e e e e e e n R DTFT e X N j nj -------=--⋅=--=⋅==∑- ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛--πωπωωωωk N k k N e N j 2 ,,2 ,2sin 2sin 21为整数()()2sin 2sin )( 2 ωωπωωN e X k j =≠∴，时当 ()()[]2sin 2sin arg 21)(arg ωωωωN N e X j +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()1N 2 N 2 , 21+<≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n N πωππω➢ 傅里叶变换的一些对称性质【习题】8. 设)(ωj e X 是如下图所示的)(n x 信号的傅里叶变换，不必求出)(ωj eX ，试完成下列计算： (a) )(0j e X (b)⎰-ππωωd e X j )( (c) ⎰-ππωωd e X j 2)( (d) ⎰-ππωωωd de dX j 2)(【分析】利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。