K L Y min , v u

（ 二 ） 哈 罗 德 -多 马 模 型 的 基 本 公 式
一个经济社会的资本存量 K 和总产出 Y 之间存在一定的比例，即： K=V Y 从而 Y= V
其中,V 被称为资本-产出比。 定义经济的储蓄率为 s =I=S= sY= Y/V 则 G=Y/Y=s/V
（四） 均衡增长率、实际增长率与自然增长率
1. 均 衡 增 长 率 。 均 衡 增 长 率 (warranted rate of growth) ， 也 称 为 合 意 的 ( 满 意 的 、有 保 证 的 ) 增 长 率 ，是 指 保 证 总 需 求 与 总 供 给 相 等 的 增 长 率 。 其 公 式 为 Gw=s d /v r 。 其 中 ,Gw 表 示 均 衡 增 长 率 ； s d 表 示 意 愿 的 (desired) 储 蓄 率 ， 即 人 们 当 前 意 愿 储 蓄 的 金 额 占 其 收 入 的 比 例 ；v r 表 示 意 愿 的 资 本 - 产 量 比 率 ，即 理 性 的 企 业 家 认 为 理 想 的 资 本 产量率。 哈 罗 德 指 出 ， 假 设 sd 和 vr 既 定 ， 则 在 经 济 增 长 过 程 中 ， 要 实 现 每一年的总需求与总供给均相等或平衡的均衡增长， 必须有足够的有 效 需 求 ， 保 证 由 需 求 带 动 的 国 民 收 入 ( 产 量 ) 增 长 率 Gw 所 引 致 的 投 资 I(=Gw·v r ) 恰 好 能 够 完 全 吸 纳 既 定 的 储 蓄 。
f (k ) F (
K K ,1) ( ) k AL AL
思考：试证明 C-D 生产函数满足 3 个特性假设。
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3．生产投入品的变动 假设时间 t 是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n （2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中 n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不 变增长速度 思考：L，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长： K (t ) [dK (t ) / dt] sY (t ) K (t ) 其中 s 为储蓄率， 为资本折旧率，均为外生变量 （三）平衡增长路径 1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 k (t )
其中，Y 为产量，K 为资本，L 为劳动力，A 为知识或劳动的有 效性，t 表示时间 注意：AL 为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型” 或“哈罗德中性” 思考：如果知识进入的形式不是 Y=F(K,AL)（哈罗德中性） ，而 是 Y=F(AK,L)（索洛中性）或 Y=AF(K,L)（希克斯中性） ，结果会有 何不同？ [只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]
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即为哈罗德-多马模型的基本公式。它表明，当经济处于均衡时，国民收入增长 率等于该社会的储蓄率除以资本产出比。
（ 三 ） 哈 罗 德 -多 马 模 型 的 含 义
1. 哈 罗 德 — 多 马 模 型 从 凯 恩 斯 的 S=I 这 一 公 式 出 发 ，认 为 要 使 经 济均衡增长，一个国家每一时刻的储蓄应当全部转化为投资。 2. 由 于 储 蓄 比 例 和 资 本 生 产 率 共 同 决 定 经 济 增 长 率 ，因 而 即 可 以 在资本生产率既定的条件下， 用改变储蓄比例或投资比例的办法来改 变 经 济 增 长 率 ，也 可 以 在 储 蓄 比 例 不 变 的 前 提 下 ，用 改 变 资 本 生 产 率 的办法来使经济增长率发生变动。 3. 哈 罗 德 — 多 马 模 型 的 经 济 增 长 模 型 认 为 ， 凯 恩 斯 用 短 期 分 析 法 ，从 有 效 需 求 不 足 出 发 ，只 注 意 投 资 在 增 加 总 需 求 方 面 的 作 用 ，未 注 意 到 投 资 在 总 供 给 方 面 的 作 用 。由 于 投 资 能 形 成 新 的 生 产 能 力 ，所 以 投 资 具 有 两 重 性 ，一 方 面 可 以 增 加 总 需 求 ，另 一 方 面 具 有 生 产 能 力 效 应 ,可 以 增 加 总 供 给 。
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哈罗德认为，自然增长率与均衡增长率之间的关系会有三种情 况： ① Gw ＞ Gn ，即 s d ＞ s 0 ，过 度 储 蓄 导 致 社 会 在 长 期 内 处 于 就 业 不 足 的经济长期停滞趋势或叫慢性经济萧条。 这就要求政府实施补偿性财 政赤字政策，用政府赤字支出来弥补私人部门的投资不足。 ② Gw ＜ Gn ，即 s d ＜ s 0 ，表 明 私 人 部 门 意 愿 的 储 蓄 不 足 以 支 持 按 自 然增长率增长所需要的储蓄。 这就要求政府实施必要的财政盈余政策, 以紧缩私人部门的有效需求，遏制经济过热，防止通货膨胀。 总之， ①、 ②两种情况下都不能做到既没有通货膨胀又没有失业。 ③ 只 有 Gw ＝ Gn 这 种 情 况 ， 才 是 合 乎 理 想 的 长 期 增 长 状 态 。 把 均 衡 增 长 率 、实 际 增 长 率 、自 然 增 长 率 三 者 结 合 起 来 考 察 ，从 长期看，充分就业稳定状态均衡增长的条件应当是：
G A ＝ Gw ＝ Gn
二、索洛和斯旺的经济增长模型
（一）问题的提出 1.什么因素决定了经济增长？生产函数的分解 2.经济增长的一般趋势是什么？ 3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？
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4.穷国能否赶上富国？ （二）生t ) F ( K (t ), A(t ) L(t ))
（3）稻田条件（Inada Conditions） ：
limk o f ' (k ) , limk f ' (k ) 0
一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示
f(k)
k
一个特殊的生产函数：C-D 生产函数
F ( K , AL) K ( AL)1 ， 0 1
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s
sf (k (t )) k (t ) nk (t ) gk (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t ) 是索洛模型的基本微分方程，
它表明 k (t ) 是 k 的方程。 含义说明：人均实际投资 sf (k (t )) 用于两方面：一是“资本的深 化” ，即 k (t ) ，二是“资本的广化” （ “持平投资” ） ，即 (n g )k (t ) 。 （2）稳态均衡 定义“稳态” ：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即
2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于 c≥0 含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资 源）相对不重要 令 c=1/AL,则 F (
K 1 ,1) F ( K , AL) AL AL
令有效劳动的人均资本 k=K/AL，有效劳动人均产量 y=Y/AL，则 y=f(k),总产量 Y=ALf(k)





K (t ) K (t ) A(t ) L(t ) k (t ) k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t )




代入，有： k (t )
sY (t ) K (t ) k (t )n k (t ) g A(t ) L(t )
Y (t ) k (t ) nk (t ) gk (t ) A(t ) L(t )



K (t ) , 先做变换，两边取自然对数 A(t ) L(t )
ln k (t ) ln K (t ) ln A(t ) ln L(t )
k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) 对 t 求导数，得： k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) k (t )
CH 11
经济增长理论（一）
一、哈罗德一多马模型
（ 一 ） 哈 罗 德 -多 马 模 型 的 基 本 假 设 条 件
① 假定储蓄 S 与国民收入 Y 呈一种简单的比例函数：S=sY，这里 s 为平均和 边际储蓄倾向。 ② 假定劳动力以不变的外生比率 n 增长，且 n L L ③ 假定没有技术进步，并对资本存量 K 不进行折旧。 上述假定对哈罗德模式并不是必要，其目的仅仅是为了简单化。 ④ 在哈罗德模式中，假定生产函数具有固定系数的性质，生产一单位的产出 Y 需要劳动 L 和资本 K 惟一给定，即：
（2）边际产品递减：
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f(k)满足 f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对 K、L 求导数： 资本的边际产品为：
Y 1 ALf ' (k ) f ' (k ) K AL
有效劳动的边际产品为：
Y K f (k ) ALf ' (k )[ ] f (k ) kf ' (k ) ( AL) ( AL) 2
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2. 均 衡 增 长 率 、 实 际 增 长 率 与 经 济 周 期 在实 际 生活 中 ，由于 储 蓄不 一 定全 部转 化 为投 资 ，或 总需 求 与总 供 给 不 一 定 相 等 ， Gw 与 G A 也 不 可 能 完 全 一 致 。 如 果 G A ＞ Gw ， 则 社 会 总 需 求 超 过 扩 大 了 的 生 产 能 力 。为 了 弥 补 生 产 能 力 的 不 足 ，下 一 年 的 投资必定超过储蓄，增加的投资通过乘数效应和加速效应的相互作 用 ，对 以 后 各 年 的 收 入 、消 费 、投 资 变 动 产 生 连 锁 影 响 ，即 投 资 越 来 越 大 于 储 蓄 ，实 际 增 长 率 与 均 衡 增 长 率 的 差 距 必 然 越 来 越 大 ，出 现 了 生 产 、收 入 、消 费 与 投 资 等 累 积 性 扩 张 的 经 济 繁 荣 。如 果 此 时 已 达 充 分 就 业 或 某 些 关 键 性 产 品 出 现“ 瓶 颈 ”，就 会 产 生 需 求 拉 上 的 通 货 膨 胀。 如 果 G A ＜ Gw ，则 社 会 总 需 求 小 于 社 会 总 供 给 ，市 场 疲 软 产 品 滞 销 ， 厂 商 的 生 产 能 力 闲 置 ，开 工 不 足 ；存 货 超 过 了 正 常 周 转 必 需 的 正 常 存 货 量 。于 是 厂 商 减 少 投 资 ，通 过 乘 数 效 应 和 加 速 效 应 的 相 互 作 用 ，对 以 后 各 年 的 收 入 、消 费 、投 资 变 动 产 生 连 锁 影 响 ，即 投 资 越 来 越 小 于 储蓄，实际增长率与均衡增长率的差距必然越来越大，出现了生产、 收入、消费与投资等累积性减缩的经济衰退和萧条。 因此，均衡增长途径被说成是“剃刀的锋口”，即均衡增长过程 不 易 保 持 ，只 要 实 际 增 长 率 稍 稍 偏 离 了 均 衡 增 长 率 ，两 者 的 差 距 将 越 来 越 大 ，出 现 累 积 性 经 济 增 长 或 经 济 紧 缩 。从 政 策 意 义 上 说 ，要 维 持 长 期 的 均 衡 增 长 ，政 府 有 必 要 采 取 适 当 的 措 施 ，使 实 际 增 长 率 与 均 衡 增长率保持一致。 自 然 增 长 率 是 考 虑 到 长 期 中 人 口 增 长 和 技 术 变 化 的 因 素 (主 要 是 人 口 变 化 )时 的 经 济 增 长 率 ， 是 指 在 人 口 (劳 动 力 )按 固 定 增 长 率 增 长 （ n ） 和 技 术 水 平 变 动 条 件 下 (a) 社 会 可 能 实 现 的 经 济 增 长 率 。 用 Gn 代 表 自 然 增 长 率 ， 则 Gn=n+a 。 如 果 s 0 代 表 为 实 现 Gn 所 需 要 的 储 蓄 率 ， 则 ： Gn ＝ s 0 /v r 或 s 0 ＝ Gn · v r 。