分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。

通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。

关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法二．利用基本不等式法 均值不等式即：利用不等式∑=n i y i x m i n 11≥∑=∑=ni y i n ni x i n m111)1(⇔∑=-∑=ni imm yx nni i 1211)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一类难度较大的分式不等式是很简捷的。

例2.若1,2)(i R =∈+a i 且N m s ni i a ∈=∑=,1，则有∑+=-ni ma a i i 1)(1)(sn n s mn +≥证明:(1)当m=1时，∵n a a ni ini i2111≥∑∑=-=，sn a ni i211≥∑=-，所以有：)11(a a i ni i +∑=-=∑∑==-+ni in i i a a 111≧sn 2+s=n(ns sn+)(2)当m=2时,)11(a a i ni i +∑=-≧nm 21-ni i ni ma a ∑+=-1)(1≧n )(nss n m+综上，由（1）（2）知原不等式成立。

排序不等式即，适用于对称不等式例3.设a,b,c 是正实数，求证：23≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则ba a c cb +≥+≥+111 由排序不等式得：≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a ba b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（b ac a c b c b a +++++）3≥，所以23≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a ni i ni i 2111≥∑∑=-=例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 22=+βα，不等式左边拆项得：ββαcos sin sin cos 222211+=βαβααsni22222sin cos sin cos 111++又由于1sin sin cos sin cos 22222=++βαβαα 由倒数不等式有:)(sin sin cos sin cos 22222βαβαα++)111(22222sin cos sin cos βαβααsni++≥9所以原不等式成立当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 22222==即2tan ,1tan ==αβ时等号成立。

利用柯西不等式法即利用)(1R )(2122+==∈≤∑=∑∑b a b a b a i i n i i i n i i n i i i 来证明。

例5、如果a aa n >>> (2)1，n ∈N,且n ≥3,求证a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(+a a n n 12-≥0 证明：原不等式等价于a a 211-+aa 3222-+…+a a n nn ---12)1(≥aa nn-12由柯西不等式得：[（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+（a n 1--a n ）][a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(]≥[1+2+…+)1(2-n ]=2)]1([2-n n =4)1(22-n n当n ≥3时，4)1(2-n ≥1所以a a 211-+a a 3222-+…+a a n n n ---12)1(≥a a n n n--1224)1(≥a a nn-12（5）利用Grammer 法则，即把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的例6.设a i >0求证:1113221-≥+++++++-n n aa aa aaa aan nnn证明：令x a a a a n n 1132=+++-x a aa a n n 2131=+++-……x a aa n n =++-121设),2,1(n i a i =为未知数，显然此方程组的系数行列式D=)1()1(--n n，用x i 分别替换D 中的第i 列得：),2,1]()1([1)1(n i n x x D i ni i ni =--=∑-=,y由Grammer 法则有：1])1([1---==∑=n n Dnj i jii x xDa ,故有：aa aa aaa aan nnn113221-+++++++=1])1([11---∑=n n nj jx x+1])1([12---∑=n n nj jx x+…1])1([1---∑=n n nj n jx x)]2([11121213132--+++++++++-=-n n x n xx x x xx x xx x x nn n n)]2()1([11----≥n n n n n =1-n n 三．零点法即利用非负实数的性质)(0)(2时等号成立b a b a =≥- 例7.设),2,1(,n i b a i i =是正实数，且∑∑===ni ini ib a 11求证：∑∑==≥+ni i ni ii ia b a a11221 证明：当b a i i =时，不等式取等号，且2b a ba a ii ii i+=+ 构造不等式[)2(2≥+-+b a b a a i i ii i]即有：0432≥-++a b b a aiiii i，令i=1,2,…相互叠加，得：043112≥-++∑∑∑===n ni ni iini iiiab ba a ，因为∑∑===ni ini ib a 11，所以有∑∑==≥+ni i ni ii ia ba a 11221 四。

利用放缩法对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。

例8.设a,b,c,d 为任意正数，求证：21<+++++++++++<ca d da d c c a cb b d b a a证明：首先分母缩小以证明右式2=+++++++<+++++++++++dc dd c c b a b b a a c a d d a d c c a c b b d b a a然后分母放大以证明左式1=+++++++++++++++>+++++++++++dc b a dd c b a c d c b a b d c b a a c a d d a d c c a c b b d b a a 所以原不等式成立。

五.换元法。

常用的换元方法有局部代换，整体代换，三角代换。

例9．（W.Janous 猜想） 设R z y x +∈,,求证：0222222≥+-++-++-zy yx xz zxy z xy证明:令原不等式左边为M,,,,c z y b y x a x z =+=+=+则R c b a c b z x b a y z a c x y +∈-=--=--=-,,,,,,所以有：abcbc ab ca cc b a b b a c a a c b M a c b baaccb )()()()(222222222++-++=-+-+-= 因为ca bc ab b c b b aa baacc a c cb2222222222222222,2,2≥+≥+≥+，所以有：bc ab ca a c b baaccb 222222222(++≥++，故M>0,当且仅当z y x ==时等号成立，所以原不等式成立。

（局部代换） 例10.已知a,b,c,d R +∈,且1111122222222=+++++++dd cc bb aa，求证：91≤abcd 证明：设αtan =a ，则))2,0((,1sin 222παα∈=+aa ，，又设))2,0(,,(,tan ,tan ,tan πσγβσγβ∈===d c b ，由1sin sin sin sin2222=+++σγβα，有σσγβαcos sin sin sin sin222221=-=++，则有：)1(3cos sin sin sin sin sin sin 22223222σγβαγβα=++≤•，同理:)2(3cos sin sin sin sin sin sin22223222γσβασβα=++≤•,)3(3cos sin sin sin sin sin sin 22223222αγβσγβσ=++≤•,)4(3cos sin sin sin sin sin sin22223222βγασγασ=++≤•，（1）⨯（2）⨯（3）⨯（4）得:σγβασγβαcos cos cos cos sin sin sin sin 2222222281≤即：811tan tan tan tan 2222≤σγβα 所以有：91≤abcd代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。

整体代换例11 已知R c b a +∈,,,且1111=+++++c c b b a a ,求证：12111222≥++cb a 证明：由已知得:1111111111=+++++cba,设,111ax +=,111by +=,111cz +=则有:,111-=x a ,111-=y b ,111-=zc 且1=++z y x ，所以：8222)11)(11)(11(1=⋅⋅≥+⋅+⋅+=---=zyxzxxy yz z y x y x z x z y z y x abc ，所以81≤abc ，所以：12331113623222222=≥≥++-cb a cb a六．构造法构造法通常是指构造函数，构造数列，构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具。

构造对偶式也叫配对法例12.已知a,b,c 均为正数，求证:3223223223cb a ca bc ab acccbbbaa++≥++++++++ 证明：设,223223223acccbbbaaca bc ab M ++++++++=ac a c b c b a b ca bc ab N 223223223++++++++=则M-N=0即M=N,又aca c cbc b ba ba ca ca a c bc bc cb ab ab b a N M 222222222222)()()(+++-⋅+++++-⋅+++++-⋅+=+，由基本不等式得：313131222222222222≥+++-≥+++-⋅≥+++-a c a c c b c b ba ba ca ca bc bc ab ab ，所以有:3)(2c b a N M ++≥+,又M=N,故3cb a M ++≥利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。