二次函数练习题及答案
一、选择题
1．将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 （ ）
A B. C. D.
2．将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ）
Ａ． ；Ｂ． ；Ｃ． ； Ｄ． ．
3．将抛物线y= （x -1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
17．若二次函数y=（x-m）2-1，当x<1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______
三、解答题
18．已知二次函数 .
（1）求二次函数 的图象与两个坐标轴的交点坐标；
（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点. 直接写出二次函数 的图象与x轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数．
考点：二次函数的性质
6．C．【解析】试题分析：抛物线 的顶点坐标为（2，2），把点（2，2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的新图象的函数表达式为 ．故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
7．B【解析】 方法1， 由平移的可逆性可知将 ，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位， 所得图像为抛物线 的图像，又 的顶点坐标（1，-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1，-1），∴ ，即b=2,c=0;
A．y=（x -2）2B．y=（x -2）2+6 C．y=x2+6 D．y=x2
4．由二次函数 ，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
5．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）
A．最大值1 B．最小值﹣3 C．最大值﹣3 D．最小值1
的函数是．（把你认为正确的序号都填写在横线上）
14．已知抛物线 ，它的图像在对称轴______（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的
15．x人去旅游共需支出y元，若x,y之间满足关系式y=2x2- 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。
16．若抛物线y=x2﹣4x+k的顶点的纵坐标为n口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
考点：二次函数的性质．
5．B【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，顶点P的坐标是（1，﹣3），所以二次函数有最小值是﹣3．故选B．
故答案为（1，-7），x=1．
12．y3< y2<y1
【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可．
解：将（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）分别代入二次函数y=x2-4x+m得，
y1=（-2）2-4×（-2）+m=12+m，y2=（-1）2-4×（-1）+m=5+m，y3=22-4×2+m=-4+m，
23．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y= x2上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y= x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．
24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y= x2+5x+90，
投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲=- x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙=- x+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
考点：二次函数的性质
17．m≥1.【解析】试题分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围．
2．D【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题； ；
所以将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是 ，选D
3．D.【解析】试题分析：将y=（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x2+3；
再向下平移3个单位为：y=x2．故选D.
考点：二次函数图象与几何变换．
4．C．【解析】试题分析：由二次函数 ，可知：
9．（小于）【解析】试题分析：代入点（0，-1）（1,2）（2,3）有
，因为在0到1递增，所以y1的最大值是2，y2的最小值是2，所以小于
考点：二次函数解析式
点评：本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查
10． （顶点式为 ）．
【解析】试题分析：∵ ，∴顶点坐标为（﹣1，2），当x=0时，y=3，∴与y轴的交点坐标为（0，3），∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（1，4），∴旋转后的抛物线解析式为 ，即 ．
14．右侧
【解析】本题实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．
解：∵抛物线y=-x2-2x+1中，a=-1<0，抛物线开口向下，
∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．
填：右侧．
15．５【解析】考点：二次函数的应用．
分析：将y=2x2-20x+1050变形可得：y=2（x-5）2+1000，根据二次函数的最值关系，问题可求．
解答：解：由题意，旅游的支出与人数的多少有关系，
∵y=2x2-20x+1050，
∴y=2（x-5）2+1000，
∴当x=5时，y值最小，最小为1000．
点评：本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式适当变形即可．
16．4．【解析】试题解析：∵y=x2-4x+k=（x-2）2+k-4，∴k-4=n，即k-n=4．
∵12＞5＞-4，∴12+m＞5+m＞-4+m，∴y1＞y2＞y3．
按从小到大依次排列为y3＜y2＜y1．
故答案为y3＜y2＜y1．
13．③，④
【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可．
解：二次项的系数不是2的函数有③④．故答案为③，④．
考点：二次函数的变换问题．用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数．
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润
25．（12分）已知抛物线 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在（2）的条件下，将关于 的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
考点：二次函数图象与几何变换．
11．(1,-7) x=1
【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2-7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴．
解：∵y=2x2-4x-5=2（x2-2x+1）-5=2（x-1）2-7，
∴二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为（1，-7），对称轴为x=1，
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为 ， 和 ，用等式表示 ， 、 之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．
6．把函数 = 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 ，则b、c的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3（x+2）2-1．
故选B．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．已知(－2,y1),(－1,y2),(2,y3)是二次函数y=x2－4x+m上的点,
则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是__________.
13．（2011?攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x2+3；③y=﹣2x2﹣1；④y= 的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到
26．如图，抛物线 （a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；