专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y3<y15．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当9．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．图4－ZT－111．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．图4－ZT－2►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此二次函数的表达式为______________．13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．►类型七利用对称性解决线段和最短问题15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析] B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析] C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)． 4．[解析] C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案] y 1＞y 3＞y 26．[答案] －2[解析] 已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案] 3[解析] 设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案] －2<x <39．[答案] －1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析] 当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案] 2π[解析] 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代入二次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2， ∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案] y ＝－14x 2－32x ＋74[解析] ∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该二次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代入，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该二次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案] y ＝29x 2＋49x －169[解析] ∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代入，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代入表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112， ∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ； 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得二次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故二次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解方程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6，得⎩⎨⎧4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最小．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代入y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．。