微积分学至此基本发展完善 。
The D evelopm en t of Ca lculus
L IU He - yi, L IU Xu - hao (Department of M athematics, Hengshui University, Hengshui Hebei 053000, China) Abstract: The development of calculus is the most sp lendid chap ter in mathematics history. It agglomerates the mathematician’s thought, sp irit, and method; it establishes the academ ic foundation of the massiness for the numerous mathematics pathes. The develop2 ment history of the calculus w ill become the resp lendent chap ter for humanities education and the science study in each stage of history. Key words: Calculus; bud; gestation; establishment; development
摘 要 :微积分的发展是数学史上最辉煌的一章 ,它凝聚了数学家的思想 、精神和方法 ,为众多数学分支的建立奠定了坚实
的理论基础 。微积分的发展史 ,将成为各阶段人文教育和科学研究的辉煌篇章 。
关键词 :微积分 ;萌芽 ;酝酿 ;创建 ;发展 中图分类号 : O172 文献标识码 : A 文章编号 : 1673 - 2065 (2005) 01 - 0007 - 03
分相差甚远 。
2 酝酿时期
15, 16 世纪在欧洲文艺复兴的高潮中 ,数学的
发展与科学的革命紧密结合在一起 ,提出了以下亟
待解决的问题 :
( 1 )如何确定非匀速运动物体的速度与加速度
3 收稿日期 : 2004 - 08 - 12 作者简介 :刘和义 (1956 - ) ,男 ,河北故城县人 ,衡水学院数学系副教授.
第
7卷 第 1期 2005年 3月
Jou
rna
衡水学院学报 l of Hengshui Un
ive
Vol. 7, No.Βιβλιοθήκη rsityM ar. 2005
1
微积分发展简史
3
刘 和 义, 刘 旭 浩
(衡水学院 数学系 ,河北 衡水 053000)
∫ dxe = exe- 1 dx与 xe dx = xe- 1 (其中不一定是正 e +1 整数 ) 。1677年 ,莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了
∫a
微积分基本定理 f ( x) dx = F ( b) - F ( a) 。 b
3. 3 优先权之争 : 瑞士数学家德丢勒于 1699 年在一本小册子中
笛卡尔的代数方法在推动微积分的早期发展方面有
很大的影响 ,牛顿就是以笛卡尔的“圆法 ”为起跑点 而踏上研究微积分的道路的 。
2. 5 费马求极大值与极小值的方法
法国业余数学家费马 ( 1601 - 1665 ) 在给梅森 的一封信中提出了求极大值与极小值的代数的方
法 。按费马的方法 ,设函数 f ( x) 在点 a处取值 ,用 a + e代替原来的未知量 a ,并使 f ( a + e) 与 f ( a) 逼
第 1期 刘和义 ,等 微积分发展简史 9
坐标的差值与横坐标的差值在变成无限小时之比 ; 求曲线的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之 和 ”。早在 1666年 ,莱布尼茨在《组合艺术 》一书中 讨论过数列问题并求得许多重要结论 。 1972 年开 始 ,莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算 结合起来 , 1675 年 10 月 29 日的一份手稿中 ,他决 定用 sum 拉长的 s, ∫表示积分 , 1676 年 11 月 ,莱布 尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式 :
∫ 了等价于积分
a
xn dx
=
an +1
的基本结果 ,使早期
0
n +1
积分突破体积计算的现实原型而向一般算法过渡 。
2. 3 沃利斯“无穷算术 ” 英国数学家沃利斯 ( 1616 - 1703 )是牛顿和莱
布尼茨之前将分析方法引入微积分贡献最大的数学
家 ,并在《无穷算术 》中用 “分析 ”的途径发展积分
法 ,并获得许多重要成果 ,比如将幂函数积分公式
∫ ∫ a xn dx =
an +1 推及到分数幂
a
xp/ q dx =
a ( p / q) +1
0
n +1
0
( p / q) + 1
= q ap+q/q ,不过沃利斯仅对 q = 1的特例给出了
p +q
证明 。
2. 4 笛卡尔“圆法 ”
法国数学家笛卡尔 ( 1596 - 1650)在《几何学 》 中提到了用代数方法求切线的方法 ———“圆法 ”。
方法促进的连续不可分量的几何学 》中发展了系统
的不可分量方法 :“两个等高的立体 ,如果它们的平 行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之比为
定值 ,那么这两个立体的体积之间也有同样的比 ”
(当比为 1: 1 时 ,就是祖 原理 ,只不过相差 1 000
多年 ) ,并于 1639年利用平面上不可分量原理建立
(4)行星沿轨道运动的路程 、行星矢径扫过的 面积以及物体重心与引力的计算等 。
为解决科学发展所带来的一系列问题 , 17世纪 上半叶被人们遗忘千年的微积分重又成为重点研究
对象 ,几乎所有的科学大师都竭力寻求这些问题的 解决方法 ,有代表性的成果有以下几个方面 : 2. 1 开普勒与旋转体体积
德国天文学家 、数学家开普勒 ( 1571 - 1630)在 1615年发表的《测量酒桶的新立体几何 》中 ,采用 “用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面
积及旋转体的体积 ”。例如 ,他认为球的体积是无 数个小圆锥的体积的和 ,这些圆锥的顶点在球心 ,底 面则是球的一部分 ;他又把圆锥面看作极薄的圆盘 之和 ,并由此计算出它的体积 ,然后得出球体体积 为 :球的半径乘以球面面积的三分之一 ( V = R ×
4πR2 ×1 ) 。 3
2. 2 卡瓦列里不可分量原理 意大利数学家卡瓦列里 ( 1598 - 1647 )在《用新
进行比较 ,而后一组小单元的总和是可以计算的 ,但 它要借助于杠杆的平衡原理来计算 ”。实质上“平 衡法 ”是一种原始的“积分法 ”。阿基米德用“平衡
法 ”证明了球体积公式 :球体积 = 4πR3 , 且等于外 3
切圆柱体积的 2 。 3
中国数学家刘徽 (生于公元 263 年 ) , 发明了 “割圆术 ”———“割之弥细 ,所失弥少 ,割之又割 ,以 至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,并求得圆周 率 π≈ 3. 14 。
数 》(《流数法 》) 、《曲线求积术 》(《求积术 》) 。在这
些文献中他改变了自己对无限小量的依赖 ,提出了
极限方法的先导“首末比方法 ”,第 1次引进流数记
.. .. ..
号 ,一次流数 x, y, z,二次流数 x, y, z , ……等 。 3. 2 莱布尼茨
德国数学家莱布尼茨 ( 1646 - 1716 ) 是从巴罗 的“微分三角形 ”切入微积分研究工作的 ,他在研究 “微分三角形 ”时认识到 :“求曲线的切线依赖于纵
微积分学的触角几乎遍至当今科学的各个角 落 ,是当代科学大厦的重要基石 ,微积分的发展过程 是数学家集体智慧的结晶 。微积分的发展大致可分 为以下 4个阶段 :早期萌芽 ,酝酿时期 ,创建期 ,发展 完善期 。 1 早期萌芽
积分与微分是独立发展的 。 1. 1 积分学
积分学的思想萌芽可以追溯到古代 ,因为面积 与体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课 题 ,这里介绍几位具有突出贡献的数学家以及他们 的学术理论 ,他们的理论代表着数学研究的思想 、精 神和方法 。
古希腊数学家欧多克斯 (约公元前 410 - 前 347 年 )发展安提丰的“穷竭法 ”为“设给定两个不相等 的量 ,如果以较大的量减去比它的一半大的量 ,再以 所得量减去比这个量的一半大的量 ,继续重复这一 过程 ,必有某个量将小于给定的较小的量 ”。欧多 克斯的穷竭法可看作微积分的第一步 ,但没有明确 地用极限概念 ,也回避了“无穷小 ”概念 ,并证明了 “棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一 ”。 古希腊数学家阿基米德 (公元前 287 - 前 212 ) 在 《处理力学问题的方法 》一文中阐明了“平衡法 ”,即 “将需要求积的量 (面积 、体积等 )分成许多微小单 元 (如微小线段 、薄片等 ) ,再用另一组微小单元来
祖 (5世纪 - 6世纪 ) ,解决了刘徽绞尽脑汁 未果的求球体积问题 , 祖 用的方法是祖氏定理 “幂势既同 ,则积不容异 ”和“岀入相补原理 ”,祖
的球体积公式为 V球
= 1πD3 (D 为球的直径 ) 。 6
1. 2 微分学
与积分学相比 ,微分学的起源则要晚得多 ,早期
应用微分学思想是静止的 ,不是动态的 ,与现代微积
近 ,消去公共项后 ,用 e除两边再令 e消失 , 即
[ f ( a + e) - f ( a) ] = 0 , 此方程求得的 a 就是
e
e =0
f ( x) 的极值点 。
2. 6 巴罗微分三角
英国数学家巴罗 (1630 - 1677)在《几何讲义 》中 应用“微分三角形 ”给出了求曲线切线的方法 ,这对于
牛顿与莱布尼茨的微积分还只能说是姗姗学步 的孩童时期 ,还很不完善 ,历经众多数学大家的发展 才有了今天的面貌 ,主要代表人物有 :瑞士数学家欧 拉 ( 1707———1783 )在 1748 年出版的《无限小分析