（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。

把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。

这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。

根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。

因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。

例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。

解析：如图所示，连接CE DE 、，由于DQ ME 、平行，根据同底等高知，QME DME S S =△△； 同理根据BC ME 、平行，有PME CME S S =△△；所以PQM CDE S S =△△。

由于四边形ABCD 为直角梯形， 所以()()1115753553725222CDE ADE BCE ABCD S S S S =--=++-⨯⨯-⨯⨯=△△△梯形， 即阴影三角形PQM 的面积为25。

（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD ，BE AB =、2CF CB =、3GD DC =、4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积为2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比。

P Q MED C B A A B CD EMQ P解析：如图所示，连接AC BD 、，由于在ABC EBF △、△中，ABC ∠与EBF ∠互补，根据鸟头定理有111133ABC EBF S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△； 因为112ABC ABCD S S ==△平行四边形，所以3EBF S =△； 同理可得：428AEH S =⨯=△、428GCF S =⨯=△、5315DHG S =⨯=△。

所以2218815323618ABCD EBFS S ===++++平行四边形四边形。

例2、如图所示，ABC △的面积为1，54BC BD AC EC DG GS SE ====、、、AF FG =，求FGS △的面积。

解析：首先根据等积变换模型知，FGS FES EAF EGF S S S S ==△△△△、， 所以4AGE FGS S S =△△。

根据鸟头模型有32213AGE CDE S AE GE S CE DE ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2CDE FGS S S =△△； 21211AGD FGS S AG DG S FG SG ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2AGD FGS S S =△△；所以8ACD FGS S S =△△； CH F EDGB ACHF EDGBA111144ADB ACD S AD BD S AD DC ⋅⨯===⋅⨯△△，所以2ADB FGS S S =△△；所以10ABC FGS S S =△△， 即110FGS S =△。

（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。

设AOB S △的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，2BC AD =，再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部分占其中的8份，即阴影部分面积为841189⨯=。

例2、如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC 的面积。

解析：如图所示，连接DE CF 、。

在梯形EDCF 中，根据梯形蝴蝶定理知，EOD FOC S S =△△，2816EOD FOC EOF DOC S S S S ⨯=⨯=⨯=△△△△，即4EOD FOC S S ==△△，所以8412ECD S =+=△，12224ABCD S =⨯=长方形，245289OFBC S =---=四边形。

12244221O D C BA 2？85O F EDC BA 2？85O F ED CBA例3、如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 的中点，F 为CE 的中点，G 为BF 的中点，求三角形BDG 的面积。

解析：设BD 与CE 的交点为O ，连接BE DF 、。

在梯形BCDE 中，由梯形蝴蝶定理知，::BED BCD EO CO S S =△△，而1142BED BCD ABCD ABCD S S S S ==△△正方形正方形、，所以:1:2EO CO =。

又因为F 为CE 的中点，所以:2:1EO FO =。

在四边形BFDE 中，由蝴蝶定理知，::2:1BED BFD EO FO S S ==△△， 所以1148BFD BED ABCD S S S ==△△正方形。

所以1111010 6.2521616BDGBFD ABCD S S S ===⨯⨯=△△正方形（平方厘米）。

（4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1，E F 、分别为AB BD 、的中点，13GC FC =,求阴影部分的面积。

解析：如图所示，作FH 垂直BC 于点H ，GI 垂直BC 于点I ，根据金字塔模型知，::1:3CI CH CG CF ==；因为F 是BD 的中点，所以CH BH =，:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BEG S =⨯⨯=△。

GFED CBAGOFEDCBA例2、如图，长方形ABCD ，E 为AD 的中点，AF 与BD BE 、分别交于G 和H ，OE 垂直于AD ，交AD 于E 点，交AF 于O 点，已知5AH =,3HF =,求AG 的长。

解析：根据长方形的性质知，AB DF ∥， 再根据沙漏模型知::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 的中点，所以:1:2OE FD =，所以3:5:10:32AB OE ==。

利用相似三角形性质可得：::10:3AG DO AB OE ==，∵()11=53422AO AF =⨯⨯+=，∴104041313AG =⨯=。

（5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，求四边形BGHF 的面积。

解析：如图，连接BH 。

由于BE 与CD 平行， 根据沙漏模型知，::1:2BG GD BE CD ==。

现设1BHC S =△份，根据燕尾模型知，2DHC S =△份，2BHD S =△份。

因此整个正方形ABCD 就是：（1+2+2）×2=10（份）。

四边形BGHF 占：11712236⨯+⨯=（份）。

所以712010146BGHF S =÷⨯=四边形（平方厘米）。

OGHFE DC BA BCD EFGH A BCDEFGH A例2、如图，在ABC △中，2BD DA =、2CE EB =、2AF FC =，那么ABC △的面积是阴影GHI △面积的几倍？解析：连接AI ，根据燕尾模型知，::1:2BCI ABI S S FC AF ==△△，::2:1BCI ACI S S BD DA ==△△，所以::1:2:4ACI BCI ABI S S S =△△△，那么221247BCI ABC ABC S S S ==++△△△。

同理可知27ACG ABC S S =△△、27ABH ABC S S =△△。

所以211377ABC ABC GHI S S S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭△△阴影△，即ABC △的面积是阴影GHI △面积的7倍。

例3、如图，在ABC △中，点D 是AC 的中点，点E F 、是BC 的三等分点，若ABC △的面积是1，求四边形CDMF 的面积。

解析：如图，连接CM CN 、。

根据燕尾模型知，::2:1ABM ACM S S BF CF ==△△, 而2ACM ADM S S =△△，所以24ABM ACM ADM S S S ==△△△，即4BM DM =。

所以根据鸟头模型知，4285315BMF BCD S BM BF S BD BC ⨯⨯===⨯⨯△△， 即88141515215BMF BCD S S ==⨯=△△。

所以14721530BCD BMF CDMF S S S =-=-=△△四边形。

IHGFEDCBA IHGF EDCBA M NFEDC BA MNFE DC BA三、巩固练习1、如图，在MON ∠的两边上分别有A C E 、、，B D F 、、六个点，并OAB △、ABC △、BCD △、CDE △、DEF △的面积都等于1，求DCF △的面积。

2、如下图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE △的面积为4平方厘米，求三角形CDF 的面积。

3、如下图，在三角形ABC 中，2BD AD =，2AG CG =，BE EF FC ==，求四边形DGFE 的面积占三角形ABC 的几分之几？OMNFED C BA FEDCBAGFEDCBA4、如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =、CB BF =、DC CG =、HD DA =，求四边形ABCD 的面积。

5、边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =、FC DF =，求三角形AGE 的面积。

6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积为11，三角形BCH 的面积为23，求四边形EGFH 的面积。