任意四边形、梯形与相似模型卜亠\模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:DS1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4② AO : OC =[S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ?【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ;⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。

3【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。

请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1：3 ,二OC =2 3 =6 ,••• OC:OD =6:3 2:1 .解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G .•- AH」CG ,31•- AO CO ,3•OC =2 3=6 ,•OC:OD =6:3 =2:1 •【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6。

求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。

【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4;⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 ,1 1 2那么S GCE S CEF 2 ~~•1+2 3 3【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。

那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？S 'ABD S BCD3审S AOD =—S DOC3【解析】在L ABE , LCDE 中有.AEB =/CED ，所以L ABE , LCDE 的面积比为(AE EB) :(CE DE)。

同理有 L ADE , L BCE 的面积比为(AE DE)： (BE EC)。

所以有 S ABE X S CDE =S ADE X S BCE ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。

即SI ABE 6 = S ADE 7,所以有L ABE 与L ADE 的面积比为 7：6，S ABE = — 39=21 公顷，S ADE = — 39=18 公顷。

6+7 6+7显然，最大的三角形的面积为 21公顷。

【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是为 ________ 。

【解析】连接AD 、CD 、BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到「ABC 的面积为：1,4-1=2， ACD 的面积为：3・总-1=3.5，2 24ABD 的面积为：21=3 .24412 所以 BO ： 0D = S ABC : S ACD -2.3.5 =4.7，所以 S ABOS ABD 3 =.4十7 11 1155 10因为 BD.CE =2:5，且 BD // CE ，所以 DA:AC=2:5 , S ABC, S DB c =52 二10.2+57 7【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形 ABCD 中，BE=2EC , CF =FD ，求三角形 AEG 的面积.1，则图中阴影三角形的面积1，求三角形 ABC 的面积。

【解析】C【巩【解析】连接AE , FE .3 11 1因为 BE: EC =2:3 , DF : FC = 1: 2，所以 S DEF 二(’：’：)S 长方形 ABCD S 长方形ABCD ・5 3 2 101 1 1因为 S A ED = — S 长方形 ABCD ， AG : GF = — : —5:1 ,所以 S AGD =5§ GDF =10 平方厘米，所以 S AFD = 12 平2 2 10 _方厘米.因为 S AFD =^S 长方形ABCD ，所以长方形 ABCD 的面积是72平方厘米.6 形【解析】 连接因为BE =2EC , CF =FD 所以S DEFABCD・因为 S AED=尹ABCD，根据蝴蝶定理, AG : GF =丄:丄2 12= 6:1 ,所以 S.AGD =6S G DF 6 6 1SADF§ ABCD7' 7 4—S 14 -ABCD・所以 1 3S AGE =S AED -■ S AGD =? S|_ABCD -'14 S_ABCD 厶ABCD7 -即三角形AEG 的面积是-・7【例7】如图，长方形 ABCD 中, 方形ABCD 的面积.BE: EC =2:3 , DF:FC=1:2，三角形 DFG 的面积为 2平方厘米，求长【例8】如图，已知正方形 ABCD 的边长为10厘米, 形BDG 的面积. E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角【解析】设BD与CE的交点为O ,连接BE、DF .1 1由蝴蝶定理可知EO：OC = S BED : SBCD，而S BED =—S ABCD , S BCD = 一S ABCD ,4 21 所以EO ：OC =S BED : S BCD =1:2，故EO EC .一3由于F 为CE 中点，所以EF =-EC ，故EO:EF =2:3，2N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若.AOM 、厶ABO 和BON 的面积分别是 3、2、1「'MNC 的面积是 ___________ .【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解._ S AOMSBON_ 3 13S誉OB2 2设S MON =x ，根据共边定理我们可以得3虫―32，解得 x = 22.5.x13x2【例10】（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形AAzAdAA e 的面积是2009平方厘米，B 1B 2B 3B 4B 5B 6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【解析】如图，设B 6A 2与的交点为O ,则图中空白部分由6个与；A 2OA B 一样大小的三角形组成， 只要求出了「A 2OA 3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积. 连接人人、B 6^、B 6A 3 .设「AB 1B 6的面积为” 1 “，则BAB 6面积为” 1 “，UAA 2B 6面积为” 2 “，那么=A G A 3B 6面积为 A 1A 2B 6 的2倍，为” 4 “，梯形 AA 2A 3A 6的面积为2 2 4 2=12 , A 2B 6A 3的面积为” 面积为2 . 根据蝴蝶定理，BO ”3。

二S.B 1A 2B 6: S.A 3A 2B 6=1:6，故 S./A312所以S.A OA J S 弟形AA 2AA 二〒：12：1： 7，即卩A 2OA 3的面积 为梯形 AAAA 面积的 A 1A 2A 3A 4A 5A 3面积的—，那么空白部分的面积为正六边形面积的— 6=3，所以阴影部分面积为 14 14 72009： 11 ―? =1148（平方厘米）•I 7丿FO:EO =1:2 .由蝴蝶定理可知 S BFD ：S_BED =FO ：EO=1：2，所以S BFD1 S BED2 -1 S ABCD , 8 -那么 S| BGDSBFD S ABCDU2 - 16 -110 10=6.25 （平方厘米）.16【例9】如图，在 ABC 中，已知M 、 根据蝴蝶定理得S.MON -，故为六边形 7CA 3平方厘米.3板块二梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:①S1:S3二a2:b22 2②S i: S3: S? : S4 = a : b : ab: ab ；③S的对应份数为 a b .梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果. （具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【例11】如图，S =2 , S3 =4，求梯形的面积.【解析】设0为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，&=4"2，所以b=2 ;又因为S2=2 = a b，所以a =1 ;那么S =a2=1, S4 =ab =2，所以梯形面积^S i S2 S3 ^1 ■ 2 4 ^9，或者根据梯形蝴蝶定理，S二aF2 = 1,22=9 .【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC , BD交于O,已知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是__________________________ 平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶定理，S AOB ：S_BOC二a2：ab =25: 35 ,可得a:b=5:7 ,再根据梯形蝴蝶定理，2 2 2 2S AOB：S DOC =a : b =5:7 =25: 49 ,所以S DOC =49 （平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为25 35 35 49二14平方厘米）.【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O ,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的-，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理，S AOB：S BOC=ab:b2=2:3，可以求出a:b=2:3 ,再根据梯形蝴蝶定理，S AO D : S BOC =a2：b 2 =22：32 =4:9 .通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.【例13】（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于0点，已知AO =1，并且三角形ABD的面积J，那么OC的长是多少？二角形CBD的面积5【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?【解析】根据梯形蝴蝶定理，a:b =1:1.5 =2:3 , S「AOD :S.BOC二a2 :b2 =22 :32 = 4:9 , 所以S「AOD=4 cm2.如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积.S弟形ABCD—1.2V.8 V.8 ■ 2.7 =7.5 .【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH的面积.【解析】根据蝴蝶定理,三角形ABD的面积三角形CBD的面积=A0，所以COA0 3CO =55又AOJ，所以CO飞.【巩固】【解析】根据梯形蝴蝶定理，S AOB : S ACOD2S L AOD : S AOB =ab : a b：a= 3：=a2: b2=4:9，所以a :b = 2:3 ,3S AOD - S COB一2A D【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是1123 =34.【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为_____________形3,所以1的面积就是36 —L =16 , 3的面积就是36 =20 .4+5 4 + 5【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM :BC =1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道所以正方形的面积为1 2 2 4 ^12份，S阴影=2*2=4份，所以s阴影：s正方形=1: 3，所以s阴影二1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是___________________ 平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD =1:2 ,根据蝴蝶定理得S梯形（1 2）2 =9 （平方厘米），S A ECD = 3 （平方厘米），那么S ABCD-12（平方厘米）.【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.AMG : ABG : MCG : S^BCG=12 :(1 2):(1 2) :22 =1: 2:2:4，设S AGM-1 份，则S A MCD=1 • 2=3 份,【例16】【解析】因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF : AB =1:3，设S^OEF =1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道S A AOE 二S OFB =3份，S A AOB =9 份，S^ADE = B C F =（1 3）份，因此正方形的面积为4 • 4 • （1 •=24 份，s阴影6，所以s阴影：s正方形=6:241：4，所以s阴影=3平方厘米・AB=6厘米，AD =2厘米，AE二EF二FB，求阴影部分的面积.【解析】方法一：如图，连接DE , DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2汇6十3十2=2平方厘米.由于EF:DC=1:3，根据梯形蝴蝶定理，S DEO ：S EFO =3:1，所以S DE^-S DEF ,而S O F =S =2_ 4 _ _平方厘米，所以S DEO2=1.5平方厘米，阴影部分的面积为2,1.5=3.5平方厘米.4方法二：如图，连接DE , FC，由于EF :DC =1:3，设S A旺=1份，根据梯形蝴蝶定理，S A OED= 3份，S梯形EFCD =（1 3^ =16 份，S A ADE BCF二1 4份，因此S长方形ABCD =4 16 ' 4 = 24份，S阴影=4・3=7份，而s长方形ABCD =6 2=12平方厘米，所以s阴影二3.5平方厘米【例19】（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE =3: 2，三角形ODE的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是 ___________ 平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3 ,根据梯形蝴蝶定理，S C OE : S_AOC : Sj DOE : S_AOD = 22：2X3: 2汉3:32 = 4:6:6:9 ,所以S AOC =6 （平方厘米），S AOD=9（平方厘米），又S ABC二S ACD=6 • 9 =15（平方厘米），阴影部分面积为6 75 = 21（平方厘米）.【例18】如图，在长方形ABCD中,【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是________ 平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S .O C^ S OAE. 根据蝴蝶疋理，S OCD S OAE = S OCE S OAD = 4 9 = 36，故S -QCD 36 ,所以S OCD =6（平方厘米）.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是_________ 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S -OC^S OAE.根据蝴蝶定理，S OCD S OA^S OCE S OAD=2 8 =16，故S ?CD^16，所以S^CD=4（平方厘米）.1 1另解：在平仃四边形ABED中，S 'ADE S ABED 16 8 =12（平方厘米），2 2所以S AOE = S.ADE -S.AOD 12 -8 = 4 （平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 “4 =4（平方厘米）.【例20】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，厶DEF的面积是5平方厘米，ACED的面积是10平方厘米•问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【分析】连接BF ,根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10"0十5 = 20（平方厘米），所以长方形的面积为20 10 2 =60（平方厘米）.四边形ABEF的面积为60-5-10-20=25（平方厘米）.【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，6DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米•问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解析】（法1）连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6汉6十4 = 9（平方厘米），所以长方形的面积为9 6 2 =30（平方厘米）.四边形ABEF的面积为30-4-6-9=11（平方厘米）.（法2）由题意可知，,根据相似三角形性质，旦=取,所以三角形BCE的面积为：EC 6 3 EB EC 326-：-三=9（平方厘米）•则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15 2 =30（平方厘米）•四3边形ABEF的面积为30 _4 _6—9=11（平方厘米）•【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 , OD的长是16 , OB 的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？【解析】因为连接ED知道△ ABO和厶EDO的面积相等即为54，又因为OD：OB=16：9,所以△ AOD的面积为54一9x16=96，根据四边形的对角线性质知道：△ BEO的面积为：54x54-96 = 30.375，所以四边形OECD的面积为：54 96 -30.375 =119.625（平方厘米）.【例21】（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________________ 平方厘米.【解析】连接DE、CF •四边形EDCF为梯形，所以S EOD二S FOC，又根据蝴蝶定理，SEODSFOC =S EOF 'S COD，所以S'EOD S.FOC =S*OF S. COD =1 2 3 8=16，所以S^OD = 4（平方厘米），S.ECD=4 *8=12（平方厘米）•那么长方形ABCD的面积为12 2 =24平方厘米，四边形OFBC的面积为24-5 -2 -8 =9（平方厘米）•【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54, OD的长是16, OB 的长是9 .那么四边形OECD的面积是_____________ •1 1【解析】解法一：连接DE ,依题意S AOB BO AO 9 AO =54，所以AO =12 ,2 2小 1 1则S AOD DO AO 16 12 =96 •2 21 3又因为S AOB =S DOE =54 16 OE，所以OE =6- ,_ 2 41 1 3 3得s BOE BO EO 9 6 30 ,2 2 4 8、 3 5所以S OE CD = S|_BDC —S_BOE = S_ ABD _ S BOE = 54 ' 96 - 30 ' 11^_•_ _ _ 8 816解法二：由于S AOD : S AOB=OD ： OB 匸16 :9，所以S AOD =54 96，而S DOE=S AOB=54，根据_9 _DC3DDBBC CE FE FCB2 14 2 4212【例23】A GA GM F 【例26】如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点.三角形 ABC 由①〜⑥这6部分 组成，其中②比⑤多 6平方厘米•那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？所以S OECD=S L BDC — S BOE =S _ABD — S BOE =[54 96 -30- ^119-." " " 8 8ABC 是等腰直角三角形,DEFG 是正方形，线段 AB 与CD 相交于K 点.已知正方形 BKD 的面积是多少？如图， DEFG 的面积 48, AK:KB =1:3，则1 1ACK 的面积是相等的.而AK :KB =1:3，所以 ACK 的面积是AABC 面积的亠=丄，那么.BDK 1+3 4的面积也是AABC 面积的-.4由于「ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM 二DE ，可见JABM 和JACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正 方形DEFG 的面积相等，为48.1那么 BDK 的面积为481=12 .4【例24】如图所示，ABCD 是梯形，「ADE 面积是1.8 , ABF 的面积是9, ：BCF 的面积是27•那么阴影MEC 面积是多少？__ D ” E FC 二 AF : FC = 9:27 =1:3 ,S AEC=S AEF4".24=4.8 .S.BFC 27并且 S AEF - S ADF - S AED- 3 - 1.^ = 1.2，而 S AFB: S Bl 所以阴影AEC 的面积是： 【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到S AFB S DFC 二S AFD S BFC ，而S AFB 二S DFC （等积变换），所以可得S» F 亠 *3 ,【例25】如图，正六边形面积为 6，那么阴影部分面积为多少?【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积-6=8 . 183蝴蝶定理, S |_BOE【解析】由于DEFG 是正方形,所以DA 与BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中，UBDK 和S ，正方形PCNG 的面积为S ，则S 1: S 2 =【解析】因为E 是DC 中点，F 为AC 中点，有AD=2FE 且平行于AD ，则四边形 ADEF 为梯形•在梯形 ADEF 中有③二④，②X ⑤二③^④，②：⑤=AD 2: FE 2=4.又已知②-⑤=6，所以⑤=6-：-(4_1)=2 , ②二⑤4=8，所以②X ⑤二④^④=16,而③迪，所以③二④=4，梯形ADEF 的面积为②、③、④、 ⑤四块图形的面积和，为 8 4 4^18 .有L CEF 与L ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比， 即为1:4 .所以L ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 —=4，即为18 - ^24 .因为D 是BC 中点，所4-1 3 3以L ABD 与L ADC 的面积相等，而|_ABC 的面积为ABD 、L ADC 的面积和，即为24*24=48平方 厘米.三角形 ABC 的面积为48平方厘米.【例27】如图，在一个边长为 6的正方形中，放入一个边长为 2的正方形，保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为 .【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定 理来解决一般情况.解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5 ,因此空白处的总面积为 6 1.5“2 4 2 2 =22，阴影部分的面积为 6 6-22=14 .解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2,下底都为6,上底、下底之比为 2: 6 =1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之2 29比为1 :1 3:1 3:3 =1:3:3:9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一，阴影部分的面16A①② ④ ⑥③F积占该梯形面积的—，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的-，那么阴影部分的面积为16 167(6 -2 ) =14 .16【例28】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE = 2 BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S，正方形PCNG的面积为S，则S1: S2 =【解析】 连接BD 、EF •设正方形ABCD 边长为3，贝U CE =CF =2 , BE =DF =1 ,所以，EF^22 2^8 ,2 2 2 2 2 2BD =3 3 =18 •因为EF BD =8 18=144=12，所以EF ・BD=12 •由梯形蝴蝶定理，得2 2S^ GEF: S^ GBD:S^ DGF: Sn BGE = EF : BD : EF BD：E FBD=8：18：12：12=4：9：6：6 ，所以 AM : CN =DN :CN =3:2，贝U S ：3 =AM 2：CN 2【例29】如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与CD 平行，且CD =2AB ，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点,已知阴影四边形 EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是 _____________ 平方厘米.【解析】 连接EF ,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小 三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 ABCD 面积.13 设梯形ABCD 的上底为a ,总面积为S .则下底为2a , EF =丄a • 2a =- a •223 3所以 AB: EF =a : a =2:3 , EF : DC a:2a=3:4 •2 2由于梯形ABFE 和梯形EFCD 的高相等，所以f二 AB EF : EF DC 二 a 「2所以，S A BGE 所以S 梯形BDFES 梯形BDFES 梯形BDFE • 4 9 6 6 25=S A BCD - S A CEF =—，所以， S A BGE 2 25 9因为 S A BCD 二 3 3 亡 2 二,CEF 二2 2十 2 二2 ,6 5—X2由于△ BGE 底边BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长, 所以CN 6, ND,555= 9:4 •3a 2a =5: 7 ,S 梯形 ABFE : S 梯形 EFCD 故S 梯形ABFES 12 根据梯形蝴蝶定理, 9同理可得S ENF—S • 12 ABFE 内各三角形的面积之比为9 5 3S S ； 25 1220 9 7 3 S 梯形 EFCD S S ， S 梯形EFCD 梯形 A,,. 9S 梯形ABFE 9所以 所以 2 22 :2 3: 2 3:3 =4: 6: 6:9，所以 9 12 12 16 49 12 283 3 9 、S E MFN =S E MF ' S_ENF S ■ S S ，由于 S EMFN - 54平方厘米，_ 20 28 35 9SW°（平方厘米）•（2006年“迎春杯”高年级组决赛）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、【例30】H 分别是AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简 分数m，那么，（m 5）的值等于n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面 积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积. 如下图所示，在左图中连接 EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形，可知 JAMD 的面积为长方形 AEGD 面积的1,所以三角形 AMD 的面积为4如上图所示，在右图中连接 AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N .可知EF // AC 且AC=2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形 ABC 面积的-,所以三角形BEF 的4111 113面积为1 ，梯形AEFC 的面积为2 4 8 2 8 8在梯形AEFC 中，由于EF: AC1 : 2根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：3 1 1 12：12:12: 22=1:2: 2: 4，所以三角形 EFN 的面积为311，那么四边形BENF 的81+2+2+424111面积为1•丄 1 •而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为8 2461 1 1 4 =6 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为丄丄2，即m二色,2 3n 2A HDB F C又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为21那么m n =3 2 =5。