2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康 2019-111.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设AP=1，AD =，三棱锥P -ABD 的体积V =，求A 点到平面PBD 的距离.2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点． (1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面P AD ∥平面CEF ？ 若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．3如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点， 且PE PB ＝PFPC＝λ(λ≠0)． (1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)当λ＝12时，求点D 到平面AFB 的距离．3434.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.5..如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.6.如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.7.(2018北京通州三模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F.(1)求证:AD∥EF; (2)求证:PB⊥平面AEFD;(3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出V1的值.V28...如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．9.(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．10..如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面P AD⊥平面ABCD.11..如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14PB .(1)证明：MN ∥平面PDC ；(2)求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值．12..(2016·高考四川卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD ．13．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1. 求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .14.【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.15.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥ BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.16.(2016·高考浙江卷)如图，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．17..(2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．立体几何中的翻折问题18...如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．19.．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直， 如图2.在图2所示的几何体D －ABC 中： (1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积．20．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8.点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，过点E 、F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH . (1)求证：A 1E ＝D 1F ；(2)判断A 1D 与平面α的关系．2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析：（Ⅰ）设AC 的中点为O ， 连接EO . 在三角形PBD 中，中位线EO //PB ，且EO 在平面AEC 上，所以PB //平面AEC . （Ⅱ）∵AP =1，3AD =，-3P ABD V =， -11=32P ABD V PA AB AD ∴⋅⋅⋅33==AB ，∴32AB =， 作AH ⊥PB 角PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ．又313PA AB AH PB ⋅==，故A 点到平面PBC 的距离313. 2.(1)证明：如图所示，取P A 的中点H ，连接EH ，DH ，因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ． 所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ， 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ， 所以CE ∥平面P AD ． (2)如图所示，取AB 的中点F ，连接CF ，EF ， 所以AF ＝12AB ，又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形，所以CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD ，由(1)可知CE ∥平面P AD ， 又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面P AD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．3.(1)证明 ∵PE PB ＝PFPC ＝λ(λ≠0)，∴EF ∥BC .∵BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴EF ∥平面P AD . (2)解 ∵λ＝12，∴F 是PC 的中点，在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝2，∴PC ＝P A 2＋AC 2＝6，∴PF ＝12PC ＝62.∵平面P AC ⊥平面ABCD ，且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，P A ⊥AC ，P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC .又AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴BC ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ， ∴BC ⊥PB ，∴在Rt △PBC 中，BF ＝12PC ＝62.连接BD ，DF ，设点D 到平面AFB 的距离为d ，在等腰三角形BAF 中，BF ＝AF ＝62，AB ＝1， ∴S △ABF ＝54，又S △ABD ＝1，点F 到平面ABD 的距离为1， ∴由V F －ABD ＝V D －AFB ，得13×1×1＝13×d ×54，解得d ＝455，即点D 到平面AFB 的距离为455. 4.证明 (1)由题设知BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，所以BD ∥平面CD 1B 1.因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC 且A 1D 1＝B 1C 1＝BC ， 所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， 所以A 1B ∥平面CD 1B 1.又因为BD ∩A 1B ＝B ，BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， 所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)由(1)知平面A 1BD ∥平面CD 1B 1，又平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ， 平面ABCD ∩平面A 1BD ＝直线BD ，所以直线l ∥直线BD ， 在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形BDD 1B 1为平行四边形， 所以B 1D 1∥BD ，所以B 1D 1∥l .5.连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，因为PM ＝MC ，AO ＝OC ，所以P A ∥MO ， 因为P A ⊄平面MBD ，MO ⊂平面MBD ，所以P A ∥平面MBD ． 因为平面P AHG ∩平面MBD ＝GH ，所以AP ∥GH .6.[证明] (1)在四棱锥P -ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AC ⊥CD ，且P A ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面P AC ，而AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE . (2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥AB ．又因为AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥PD ． 又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .7.(1)证明 因为ABCD 为正方形,所以AD ∥BC.因为AD ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC,所以AD ∥平面PBC.因为AD ⊂平面AEFD,平面AEFD ∩平面PBC=EF, 所以AD ∥EF. (2)证明 因为四边形ABCD 是正方形,所以AD ⊥AB.因为平面PAB ⊥平面ABCD,平面PAB ∩平面ABCD=AB,AD ⊂平面ABCD, 所以AD ⊥平面PAB.因为PB ⊂平面PAB,所以AD ⊥PB. 因为△PAB 为等边三角形,E 是PB 中点,所以PB ⊥AE.因为AE ⊂平面AEFD,AD ⊂平面AEFD,AE ∩AD=A,所以PB ⊥平面AEFD. (3)解 由(1)知,V 1=V C-AEFD ,V E-ABC =V F-ADC =23V C-AEFD =23V 1,∴V BC-AEFD =53V 1,则V P-ABCD =V 1+53V 1=83V 1, ∴V 1V 2=38.8.[解] (1)证明：在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BG ⊥平面P AD ．(2)证明：如图，连接PG .因为△P AD 为正三角形，G 为AD 的中点， 所以PG ⊥AD ．由(1)知，BG ⊥AD ，又PG ∩BG ＝G ，所以AD ⊥平面PGB ． 因为PB ⊂平面PGB ，所以AD ⊥PB ．(3)当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD ． 证明如下：取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF . 在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE .而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E ，PB ⊂平面PGB ，GB ⊂平面PGB ， PB ∩GB ＝B ，所以平面DEF ∥平面PGB ．因为BG ⊥平面P AD ，PG ⊂平面P AD ，所以BG ⊥PG . 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG ＝G ，所以PG ⊥平面ABCD ． 又PG ⊂平面PGB ，所以平面PGB ⊥平面ABCD ， 所以平面DEF ⊥平面ABCD ．9.【解】 (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面P AC . (2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB ．又因为PC ∩AC ＝C ， 所以AB ⊥平面P AC .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AC . (3)棱PB 上存在点F ，使得P A ∥平面CEF . 理由如下：如图，取PB 中点F ，连接EF ，CE ，CF .又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为P A ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ，所以P A ∥平面CEF .10.证明 (1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD . 又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB ∥平面PDC ， 又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ，所以AB ∥EF . (2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD . 因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB ∥EF ，所以AB ⊥AF .又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以点F 异于点D ， 所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD . 11.(1)证明 因为AB ＝BC ，AD ＝CD ， 所以BD 垂直平分线段AC . 又∠ADC ＝120°，所以MD ＝12AD ＝12，AM ＝32. 所以AC ＝3.又AB ＝BC ＝3，所以△ABC 是等边三角形，所以BM ＝32，所以BM MD ＝3，又因为PN ＝14PB ，所以BM MD ＝BNNP ＝3，所以MN ∥PD .又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A ， 又BD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC .由(1)知MN ∥PD ，所以直线MN 与平面P AC 所成的角即直线PD 与平面P AC 所成的角， 故∠DPM 即为所求的角．在Rt △P AD 中，PD ＝2，所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝122＝14， 所以直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值为14.12.【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交． 所以P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥BD ．连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形．所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ． 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD ．13.[证明] (1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC .在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.又DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D ．又B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F14.证明：(Ⅰ)连接 BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，∵AO ⊥平面BB 1C 1C . ∴AO ⊥B 1C ， …2分因为侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，…4分∴BC 1⊥平面ABC 1，∵AB ⊂平面ABC 1，故B 1C ⊥AB . …6分(Ⅱ)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结AD ，∵AO ⊥BC ，∴BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面AOD ，交线为AD ，作OH ⊥AD ，垂足为H ，∴OH ⊥平面ABC . …9分∵∠CBB 1=60°，所以ΔCBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD =34， 由于AC ⊥AB 1，∴11122OA B C ==，∴227AD OD OA =+=， 由 OH·AD=OD·OA ，可得OH=2114，又O 为B 1C 的中点， 所以点B 1到平面ABC 的距离为217， 所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为21。