含有阻尼项的弦振动方程及其仿真
内容提要：
本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双
曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。

最后依据弦振动方程的结果，列举
了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。

关键词
数学物理方程，Matlab，驻波。

引言：
在弦乐器表演中常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴
弦上形成驻波。

比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会
被滤掉。

但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。

而且某些
泛音准确位置并不在拨弦乐器的品（山口）上，所以缺乏理论指导。

在国内的研究领域中，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文中只是对弹拨乐器
的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧
上的指导。

而邱桂明《阻尼作用下的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。

另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的一些吉他教学视频中只是提及了左手虚按
的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。

综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛
音的理论研究尚处于一个盲区。

然而一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提
供了理论依据，给研究带来了可行性。

一、模型建立：
如图所示：琴弦的初始状态：
1
其中h是弹拨弦与初始位置间的距离，b是弹拨点距离原点的距离，l表示弦的长度。

弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为u(0,t)=u(l,t)=0
其中t表示振动时间。

列出方程：
其中：错误!未找到引用源。

，而T表示琴弦松弛时的张力，错误!未找到引用源。

表示琴弦线密度。

边值条件：
初值条件：
二、问题的求解
从物理上知道，一个复杂的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。

如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。

相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以有如下形式：
带入到原方程会得到：
分离变量：
等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是x的函数，左右两边要相等，只有等于同一个常数才可能。

设此常数为错误!未找到引用源。

则得到两个常微分方程。

得到以下通解：
因为阻尼系数很小，所以
2
接下来带入初边值条件
得：
得：
在代入：
显然错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

再代入：
用正弦级数来求：
从解的表达式来看，和式的结果应当有界，而外面的指数函数可以使得波的振幅逐渐减小，与含有阻尼的弹簧震动相类似。

其中每一个单音的波长和与之对应的频率，分
3
别为l/k,1/2错误!未找到引用源。

三、仿真模拟
由于求和结果不是基本初等函数，我们将用MATLAB采取级数的部分和来模拟.
在这一部分，我们统一设弦长l=0.64m,拨弦位置b=0.55m，弦的张力T=24.5N，弦的线
密度0.005kg/m3.
首先模拟基音：既k=1,2,3,4,5
Fig_5_1
（注：Fig_5_1 中左图，[0,0.64] 轴代表弦长，[0,0.03]轴代表时间，而纵轴在弦上一点，随时间的前进的位移. 由图中选取的是距离左端点0.55处，即拨弦处的样本，而琴真
正的发音是通过共鸣箱传出来的声音，所以右图不是声音真正的波形，但在表示频率方
面具有代表性。

）
以下我们将结合方程的解来研究泛音的性质。

2分点泛音就是滤掉在l/2处没有波节的音：即k=2,4,6,8,10 其不动点为0.32m处，
即吉他中的第12品位置，可以看出在诸多的泛音中，中点处的泛音是最稳定的，在实
践中也会发现12品处的泛音效果最为明显最为动听。

Fig_5_2
3分点泛音：k=3,6,9,12,15
其不动点位置有两个，x=0.2133m，x= 0.4267m 即吉他第七品与第八品之间的位置。

和18 与19品之间。

既然二者效果相同，对于古典吉他的初学者来说可以用7品代替19品处的泛音，即可达到需要的效果。

4
Fig_5_2
4分点泛音：k=4 8 12 16 20 333.33Hz
其不动点位置也有两个x=0.16m，x=0.48m 恰好在第4品处，而另一个地方则由于吉他指板的限制而没有品。

Fig_5_3
5分点泛音：k=5 10 15 20 25
其不动点位置也有x= 0.1280，0.2560,0.384，0.512，但是有品的只有4品，9品，15品。

并且泛音效果十分不明显，在实践中也发现其杂音较重。

Fig_5_4
四、对右手的建议：
以下我们将结合以上内容，给出一些不合适的右手弹拨位置，希望演奏者加以回避。

1．三分点，在弹拨三分点的时候左手放在在了l/3 处，右手如果放在2l/3处时，将会导
致如下结果：
5
Fig_6_1
弦振动的振幅达到了10-19人耳听不到。

所以需要回避这一点。

2.四分点泛音：左手虚按l/4处，如果右手弹拨1/2处，结果是振幅也是过小而且波形紊乱。

振幅小于10-19，人耳依然听不到，所以要回避。

Fig_6_2
如果右手弹拨3l/4处，结果也是相类似的，需要回避。

Fig_6_3
Fig_6_3
对以上结果进行总结，在演奏泛音时，尽量避免弹拨弦的 l/3,l/4…等这一类的点，即可减
少泛音演奏的失败。

参考文献：
1.韩佩琪，《弦乐器泛音的分析及应用》
2.周伟，《古典吉他演奏教程》
3.邱桂明，苏建新，邱树业，《阻尼震动下的弦振动研究》
4.谷超豪，《数学物理方程》
5.丁同仁，《常微分方程》
Utilizing PDE to give several suggestions about overtone
performance with right hand
Abstract:
6
Based on the PDE of the classical guitar strings vibrations, we will get a hyperbolic equation with damping term in the initial boundary value problem. Then using separation of variables method for solving, and then to the Matlab simulation, to verify the correctness of the solution. Finally, according to the results of string vibration equation lists several of harmonic position in such a case, and combined with the equation, we will give some advice on right hand.
Key words：
PDE, Matlab, overtone.
7。