练习题： 一、填空1、设)(32xy xy z ϕ+=，其中有ϕ连续导数，求y zxy x z x ∂∂-∂∂2= . 答案：2y -2、求由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量是 。

答案：)3,2,0(513.已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和()Λ,2,1,13=+=n n nS n ,则此级数的通项n u = . 答案：()13+=n n u n4、L:沿椭圆12222=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算⎰--+Ldy y x dx y x )4()23(= 。

答案： ab π3-5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为⎩⎨⎧≤<-≤<=0,00,)(x x e x f x ππ，则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2πe _______6、设222z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x rr grad ρρρ++-=7、确定常数m,使⎰⎰=+Ddxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2,2,π===x x y x y 所围成的区域，则m= 。

答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x xe C e C y 25231+=-二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π222、 ⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 则dz dx=（ B ）(A )z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) zx yx -- 3、设f(x,y)连续，⎰⎰⎰⎰-+121202),(),(x xdy y x f dx y x f dx =（ D ）(A) ⎰⎰-222),(yy dx y x f dy (B)⎰⎰-12),(yy dx y x f dy (C)⎰⎰⎰⎰-+12120),(),(yydx y x f dy dx y x f dy (D)⎰⎰-12),(y ydx y x f dy4、设)()(y x y x z -++=ϕφ，则必有（ B ）a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则⎰+Lds y x )(的值等于(C)（A ）21-（B ）221+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 222=+所围成，则 )()(22=++⎰⎰dxdy y x y x D。

（A ）dxdy x y x D⎰⎰+2)( （B ）⎰⎰+-10112),(yy dx y x f dy（C ）dr r d ⎰⎰+θπθθθcos 2032)sin (cos 2（D ）⎰⎰-+22cos 203)sin (cos ππθθθθdr r d7、设)(x f 有连续的一阶导数，则⎰=+++)2,1()0,0()()()(dy y x f dx y x f（A ）0 （B ）⎰3)(dx x f （C ）dx x f ⎰1)( （D ）)1()3(f f -8、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)sin(),(2xy xy xyy x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx edyyx ⎰⎰11022、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂及xy z ∂∂∂2答案：()21f f y f yz-+=∂∂ ()22211211212f f f f y f f xy z--+++=∂∂∂()221121f f y f f -++=3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。

答案: 切线方程为,1191161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。

答案：42=+y x ，1221-=-=-z y x 5、设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分⎰-Lydx xdy 2答案：23π6、设)10(:22≤≤+=∑z y x z 的下侧，求⎰⎰∑-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32答案：π27、求()⎰⎰∑+ds z xy 2，其中∑为半球面228y x z --=位于圆柱面422=+y x 内的部分。

答案：()1223128-π8、计算⎰⎰∑γ,ds cos z2其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与z 轴正向夹成的锐角。

答案：2π 9、求幂级数n x n n n n ∑∞=-+1)2(31的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；10、设0>x ，求微分方程()0622=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为322Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''22的通解。

答案：)( 1121C y e C e C y xC x C =-=包含12、求⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数的连续性。

答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。

答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求yx z∂∂∂2。

解：2221221)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。

15．设n ρ是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n ρ的方向导数，并求方向导数的最大值。

解:68}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂===n z u y u x u n u n z y x n M M ρρϖ, 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ϕ=+,求yz∂∂.解 )(2,)()(),(),,(22y zz F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ϕϕϕϕ'-='+-=-+=，)(2)()(xzz yzx z yz F F y zzy ϕϕϕ'-'-=-=∂∂ 17、设4:222=++z y x S ，计算dS y x S)(22⎰⎰+。

答案：3128π18、验证dy ye y x x dx xy y x y)128()83(2322++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u 。

答案：)1(124),(223+-++=yy e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分⎰++-Ly dy x e dx y )()22(2，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆周x y x =+22。

20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=，22y x z +=围成，试分别用直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为三次积分。

21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2)([)(122-++=⎰与路径无关。

（1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2)([)(12),()0,0(2-++=⎰的值。

22、判别级数()[]∑∞=-+11231n nn n 的敛散性。

答案：收敛23、证明⎪⎩⎪⎨⎧==≠++==0,00,),(2222y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。

24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:222. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求⎰⎰∑++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421h π-25、设正向数列{n a }单调减少，且∑+∞=-1)1(n n na 发散，证明级数∑+∞=+1)11(n nn a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞→lim则有0>≥a a n （0≠a 否则与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾）≤+∑∞=1)11(n nna ∑∞=+1)11(n n a ， 111<+a由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。

26、求幂级数∑∞=+11n n x n n在其收敛域1<x 内的和函数()x s 。

答案：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-+-=000111111x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数x y cos =展开成 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的幂级数。

28. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ,其中Ω为曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案：127π29、求级数∑∞=++⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+21)1ln(ln )1(11ln n n n nn n n n 的和。

答案： 2ln 21lim ==∞→n n s s 30、求二元函数223),(xy y x xy y x f --=的极值.答案： 驻点: ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==11,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。