2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。