动量矩定理作业参考答案及解答
1．如题图所示，均质细圆环质量为m 1，半径为R ，其上固接一质量为m 2的均质细杆AB ，系统在铅垂面以角速度ω 绕O 轴转动，已知∠CAB =60°，分别计算系统对轴O 和轴C 的动量矩。

解: 先计算系统对轴O 的动量矩。

环对其质心的转动惯量
211R m J C =
由转动惯量的平行移轴定理，环对转轴点O 的转动惯量
2112112R m J R m J C O =+=
杆对其质心 22212
1
R m J C =
由转动惯量的平行移轴定理，杆对转轴点O 的转动惯量
2222)23(R R m J J C O +
+==)36
11
(222m m R + 所以 222121)3611
2(R m m m J J J O O O ++=+= 对轴O 的动量矩为 ==ωO O J L )3611
2(2212m m m R ++ω
再计算系统对轴C 的动量矩。

环对其质心动量矩为 ωω2111R m J L C C == 点C 不是杆AB 的质心，故杆AB 对轴C 的动量矩为
)23
65(2
3)231(12)(222222222
+=⋅++=+=ωωωωR m R R m R m v m M J L C C C C
系统对轴C 的动量矩为 )2
3
65(221221m m m R L L L C C C ++=+=ω
答案：)36112(2212m m m R L O ++
=ω ； )2
365(2212m m m R L C ++=ω
2．行星齿轮机构如题图所示，齿轮D 固定，轮心为A ；行星齿轮B 质量为m 1，半径为R ，对质心B 的回转半径为ρ ；曲柄AB 可看作均质细杆，其质量为m 2，长为l 。

当杆AB 以ω 转动时，求系统对轴A 的动量矩。

提示：本题主要工作是齿轮B 对轴A 的动量矩计算。

齿轮B 作平面运动，先求出齿轮B 的角速度，根据平面运动刚体对轴的动量矩的计算式计算。

注意各项的正负号。

解: 先计算系统对轴A 的动量矩。

对杆分析，杆对轴A 的动量矩 ω22131
R m L A =
对轮分析 l R B ωω=
R
l
B ωω=
(顺时针)
齿轮对轮心B 的动量矩为 R
l
m m L B B 212
1ρωωρ−=−=
齿轮对轴A 的动量矩为 212l m L L B A +=ω 系统对轴A 的动量矩为 =+=21A A A L L L ωρ)3
(212
122R l m l m l m −+
再计算系统对轴B 的动量矩。

杆AB 对轴B 的动量矩为 ωω
ωω62212)(2222221l m l m l l m v m M J L C B C B −=−=+=
齿轮对轮心B 的动量矩为 R
l
m m L B B 212
11ρω
ωρ−=−=
系统对轴B 的动量矩 ωρ)6
(212221R l
m l m L L L B B B +−=+=
这里负号表示动量矩转向顺时针
答案：ωρ)3(212
122R l m l m l m L A −+=； ωρ6
(2122R l m l m L B +−=
3．均质水平圆盘重为P 1，半径为r ，可绕通过其中心O 的铅垂轴旋转。

一重为P 2的人按AB =s =22
1at 的规律沿盘缘行走。

设开始时圆盘是静止的，求圆盘的角速度及角加速度。

提示：整个系统对轴O 的动量矩守恒。

注意人按AB =s =22
1at 的规律沿盘缘行走是指相对运动规律。

解: 以整个系统为研究对象，由于∑=0)(F O M ，故整个系统对轴O 的动量矩守恒。

人相对圆盘的速度大小为
at v dt
ds
==r 人绝对速度的大小为 at r dt
ds
r v −=−=ωωa
整个系统对轴O 的动量矩守恒 0)(2121221=−+=+=at r r g p g p
r L L L O ωω
解得 )
2(2 ,)2(2122122P P r aP dt d P P r t aP +==+=
ω
αω
答案：)
2(2 ,)2(2122122P P r aP P P r t aP +=+=
αω
4．如题图所示，均质细圆环的质量为m ，半径为r ，C 为质心。

圆环在铅垂平面内，可绕位于圆环周缘的光滑固定轴O 转动。

圆环于OC 水平时，由静止释放，求释放瞬时圆环的角加速度及轴承O 的反力。

提示：先用刚体定轴转动微分方程求出角加速度，然后用质心运动定理求轴承O 的反力。

解：
圆环对轴O 的转动惯量为
22mr J O =
由定轴转动微分方程 ∑=)(F O O M J α
得 mgr
mr =α2
2 )(2顺时针r
g
=α 再用质心运动定理
0 :=Ox F x
2
:mg mr mg F y Oy −
=−=−α 解得
)( 2
1
↑=mg F Oy
答案：)( 2
1
,0 ),(2↑===mg F F r g Oy Ox 顺时针α
5．重物A 质量为m 1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D ，并绕在鼓轮B 上，如题图8所示。

由于重物下降，带动了轮C ，使它沿水平轨道滚动而不滑动。

设鼓轮半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固连在一起，总质量为m 2，对于其水平轴O 的回转半径为ρ 。

求轮C 的角加速度。

提示：分别取物块A 和轮C αα)(,
r R a A R a O A O +==的加速度物块的加速度轮心
1） 取鼓轮和轮一起为研究对象，鼓轮和轮一起做平面运动，设轮C 受到的摩擦
力为F f ，绳子受到的拉力为F T ，受力如图
分别用质心运动定理和刚体平面运动微分方程得 组合轮O
T
2
2
2f T 2
2f
T 2)()( F R r R m J RF rF m J F F a m D O O +=+=−==−=αρααρα或
重物A T 11F g m a m A −= 将运动学关系αα)(,r R a R a A O +==代入上述动力学方程解得
2
2
2211)()()(m R r R m g
m r R ρα++++=
答案：2
22211)()()(m R r R m g
m r R ρα++++=
1g
a A
6. 一均质杆AB 质量为m ，长为l ，其两端由两条等长的绳子系住在水平位置平衡，如图所示。

如右边绳子突然被剪断，试求绳子突然被剪断瞬时另一根绳子的张力和杆的角加速度。

如将两条等长的绳子换成刚度系数为k 的弹簧，试求右边弹簧被突然去掉瞬时杆的角加速度。

解: 绳子突然被剪断瞬时，其受力和运动学图见右下。

由刚体平面运动微分方程得 4312 , 23 , 22
lF ml J mg F ma F ma C Cy Cx ==−=
=αα 由于此为二自由度系统，故α , , Cy Cx a a 之间必存在一运动学关系。

以点A 为基点，质心C 为动点，有运动学关系
t
CA A Cy Cx a a a a +=+ 得
2
,21 , 23t
t αl a a a a a a CA CA A Cy A Cx =−−==
或消去A a 有 αl a a a CA Cy Cx 2
3
33t
−
=−=+ 将此运动学关系与前面的动力学方程联立解之得
mg F l g 13
3
2 , 1318==
α 当将绳子换成刚度系数为k 的弹簧时，
由于右边弹簧被突然去掉瞬时，左边弹簧的拉力与未去掉前相同，即
mg F 3
3=，由412 43 2lmg
ml lF J C =
⇒=αα 得 l
g
3=
α
C
A
A x
y
A。