r 1 r2k W k ( r l0 )dr d ( r l0 ) 2 2 r r 1 1
k [(r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
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2．弹性力的功
弹簧原长 l 0 ，在弹性极限内 F k (r l0 )r0
时力F 所作的功。M点轨迹已知。
F F Fn Fb
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W F ds F rd mz ( F )d
W mz ( F )d
1 2
( 2 1 )
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴
W m d
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．刚体沿固定面作纯滚动
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4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
W
(N)
N dr N 'dr
N dr N dr 0
5．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
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§10-2
动 能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。 一．质点的动能
若m = 常量, 则
1
2
W m( 2 1 )
注意：功的符号的确定。
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5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功 W M1M 2 F ds M1M 2 f ' Nds N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
1
第十章
§10–1 §10–2 §10–3 §10–4
动能定理
力的功 质点 质点系动能 动能定理 功率 ·功率方程
§10–5
§10–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理及综合应用
2
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功
F ds
F dr
Xdx Ydy Zdz
( F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk
F dr Xdx Ydy Zdz)
5
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
T 1 m v2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 T mi vi 2 2
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三．刚体的动能 1．平动刚体
1 1 1 2 2 1 T mi vi (mi )v 2 Mv 2 MvC 2 2 2 2
2．定轴转动刚体 T 1 mi vi 2 1 ( mi ri 2 ) 2 1 I z 2
M1 M1
M2
M2
F1 dr F2 dr Fn dr
M1 M1 M1
M2
M2
M2
W1 W2 Wn
即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
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四．常见力的功 1．重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
之间的联系，这是一种能量传递的规律。
3
10-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
W FS cos F S
力的功是代数量。 2 时,正功； 2 时,功为零； 2 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
1J 1N 1m
4
二．变力的功 元功： W F cos ds
r2
r2
k 2 即 W ( 1 2 2 ) 2
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而 与质点运动的路径无关。
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3．万有引力的功
1 1) W Gmm ( 0 r2 r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 4．作用于转动刚体上的力的功， 力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点 作用有力 F ，计算刚体转过一角度
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt0
W F dr F vC dt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则
W m m
s R
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五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
F drA F drB
F d (rA rB ) F d ( BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
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六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
W ( N ) N dr 0 ( Ndr )
M1 M1
M2
M2
F dr （矢量式）
M1
M2

M2
M1
Xdx Ydy Zdz
（直角坐标表达式）
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三．合力的功
质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为R Fi 则合力 R
的功
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
k—弹簧的
刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。
r0 r /r 。
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M1 M1
M2
m2
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr