例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
l F dr 0
b
即：物体沿任意闭合路径运动一周，保守力对它所做 的功为零.
2. 势能
由物体的相对位置所确定的系统的能量称为势能(Ep)
保守力做功的特点—只与始末位置有关
力相对很小，可忽略不计，因此可认为相碰撞的两个
物体的总动量守恒.
常见的碰撞: 1. 完全弹性碰撞
动量守恒、机械能守恒
特点：碰撞前后机械能没有损失
2. 完全非弹性碰撞
动量守恒、机械能不守恒
特点：碰撞后两物体粘在一起，有共同运动速度
例题4. 如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均
为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止.今有一质量为m的
2). 角动量的方向由右手螺旋法则确定;
3). 单位：kg m2 s1;
4). 若质点在半径为r 的圆周上运动，质点对
圆心的角动量为：L r mv mr2
例题1：一质点m，速度为v，如
图所示，A、B、C 分别
为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别
A
d1
d2
为d1 、d2 、 d3.
B
求：此时刻质点对参考点A和B的角动量.
t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
1. 保守力
2.3.4 势能和势能曲线
1). 做功只与始末位置有关，而与路径无关的力称为
保守力：(如：万有引力、重力、弹性力等.)
2). 做功与路径有关的力称为非保守力：(如：摩擦力等.)
若物体沿acbda闭合路径运动一周，保守力所做的功为：
零点处保守力所做的功.
几种势能：Epa
E a
p
0
F保守
dr
1). 重力势能
势能零点在 z = 0处:
0
Ep
mgdz mg z
z
2). 弹性势能
势能零点在弹簧原长处:
Ep
0 kxdx 1 kx2
x
2
3). 万有引力势能
势能零点在r 处:
Ep
r
G
Mm r2
dr
G
Mm r
有关势能的几点说明
2. 机械能守恒定律
0 W ex W非in E E0
Ek Ep Ek0 Ep0
当作用于质点系的外力和非保守内力都不做功时， 质点系的机械能守恒.
1). 只有保守力做功，系统的动能和势能可以互相 转化，但它们的总和始终保持不变;
2).律的意义：
不研究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点.
2.3.5 功能原理 机械能守恒定律 1. 质点系的功能原理
由质点系的动能定理: W ex W in Ek Ek 0 (Ep Ep0 ) W保in W非in
W ex W非in （Ek Ep）（Ek0 Ep0） E E0
动能和势能的总和机械能 W ex W非in E E0
功能原理：外力与非保守内力做功的代数和等于质点系 机械能的增量.
势能
做功是能量变化的量度 保守力的功可用势能变化来表示.
物体在保守力场中由a点移动到b点过程中，保守力 所做的功： Wab (Epb Epa ) Ep
结论：保守力做的功等于势能增量的负值！
令 Epb=0
则a点处的势能为：Epa
b
a F保守 dr
物体在某点所具有的势能: 将物体从该点移至势能
注意： 1). M 和 L必须是相对于同一参考点的;
2). 质点所受合力不为零，但只要该力对参考点的 力矩为零，质点对该参考点的角动量就守恒;
3). 有心力相对于力心的力矩恒为零. 因此，在有心 力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的.
2.4.5 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量定理
簧压缩最大.应用动量守恒定律，求得两物块的共同速度v
(2M m)v (M m)vA
v
(M m) (2M m)
vA
m (2M
m)
v0
应用机械能守恒定律，求得弹簧最大压缩长度:
1 2
(2M
m)v2
1 2
kx2
1 2
(M
m
)
v
2 A
x mv0
M k(M m)(2M m)
2.4 质点的角动量和角动量守恒定律
dt
Mdt dL
t2 t1
Mdt
L2
L1
质点的角动量定理的积分形式
冲量矩
F
dp
dt
t2 t1
Fdt
p2
p1
2.4.4 质点角动量守恒定律
t2 t1
M 0
dt
L2
Lr
L1
mv
0
常矢量
质点角动量守恒
质点角动量守恒定律：当质点所受对参考点O的
合力矩为零时, 质点对该参考点的角动量为一恒矢量.
W
1 2
mv22
1 2
mv12
1). 动能定理中的增量为末状态的动能减去初状态 的动能，可正可负:
合力做正功——质点动能增加
合力做负功——质点动能减少
2). 动能与功量纲相同，但却是两个不同的概念: 动 能是状态量，而功是过程量; 由状态量的变化求过程 量可以简化计算;
3). 只适用于惯性系，并且功和动能的计算必须统一 到同一惯性系中.
2. 质点系的角动量守恒定律
t2 t1
M外dt
L2
L1
L 常矢量
0
即当系统所受合外力矩为零时，系统的总角动量
将保持不变.
说明:
1). M外 0有以下三种情况：
系统不受外力
所有外力都通过参考点
外力矩的矢量和为零
2). 质点系的角动量守恒和动量守恒条件不同，所以 角动量守恒时动量却不一定守恒.
解：以小孔O为原点，绳对小球 的拉力为有心力，其力矩为零， 则小球对O点的角动量守恒.
W保 (Epb Epa ) Ep
保守力做正功，系统势能减少；保守力做负功，系 统势能增加. 系统具有势能，就具有了做功的本领.
3. 势能曲线: 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线
E p Ep mgh
Ep
Ep
1 2
k x2
o
h
重力势能曲线
o
x
弹性势能曲线
Ep
Ep
G0
Mm r
o
r
万有引力势能曲线
Ft
m
dv dt
B
B
B
F dr A
F cos ds
A
A Ft ds
B m dv ds
B
mvdv
A dt
A
v1
W
1 2
mv22
1 2
mv12
A
Ft dr
v2
B
F
动能
kinetic
energy:
Ek
1 2
mv2
质点动能定理：在一个过程中，作用在质点上合
外力的功，等于质点动能的增量.
关于质点动能定理的说明
解：L r mv
垂直板面向里
垂直板面向里
m
d3
C
单选题 25分 质点m对C点的角动量大小为 ( ). A0 B C
提交
2.4.3
质dL点L的rd角rm动vm量v定 r两理边m 对dv时间
t 求导：
F
m
dv
dt M
dt
vmv 0
dt
M
r
F
dt
r
m
dv
dt
dL 质点的角动量定理的微分形式
上次课内容小结
质点动量定理：
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
质点系动量定理：
t2 t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0