高一数学同步辅导：函数的性质
1、若函数m x y -=
与其反函数的图象有公共点,则m 的取值范围是 ( ) (A)m ≥41
(B)m ≤41
(C)m ≥0 (D)m ≤0
2、函数y=x 2＋2x(x ＜－1)的反函数是 ( ) (A)y=
1+x －1(x ＜－1 ) (B)y=1+x －1(x ＞－1) (C)y=－1+x －1(x ＜-1) (D)y=－1+x －1(x ＞－1)
3、若函数f(x)=m x x +-2
的反函数f －1
(x)=f(x),则m 的值是 ( ) (A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2
4、设f(x)=
3412++x x (x ∈R,且x ≠－43),则f －1(2)的值等于 ( ) (A)65
- (B)52- (C)52 (D)115
5、已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为 （ ）
(A)4 (B)2 (C)1 (D)0
6、奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为－5,那么f(x)在区间[－7,－3]上（ ）
(A)是增函数且最小值为5 (B)是增函数且最大值为5
(C)是减函数且最小值为5 (D)是减函数且最大值为5
7、当21
≤x ≤2时,函数y=x+
x 1的值域为 ( ) (A)[2,+∞] (B)[2
21
,+∞] (C)[2,221 ] (D)(0,+∞) 8、若x x x f 1
)(-=,则对任意不为零的实数x 恒成立的是 ( )
(A)f(x)=f(－x) (B)⎪⎭⎫
⎝⎛=x f x f 1)( (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f x f 1)( (D)f(x)·01=⎪⎭⎫ ⎝⎛x f
9、若函数y=f(x)是函数)10(222≤≤--=x x y 的反函数，则y=f(x)的图象是( )
10、给定如下四个命题：
(1)奇函数必有反函数；
(2)由于函数 y = f (x )和其反函数y = f －1(x )的图象关于直线y = x 对称，所以y ＝f (x )
与y = f －1(x )的图象不能相交；
(3)关于直线y = x 成轴对称的两个函数图象一定是互为反函数的一对函数的图象；
(4)互为反函数的两个函数具有相同的增减性。
其中正确的命题是 ( )
(A ) (1)、(2) (B ) (3)、(4) (C ) (1)、(4) (D ) (1)、(3)、(4)
11、函数y=f(x)与f -1(x)的图象关于直线_______对称。
12、如果函数f(x)满足f(
x 1)=21x x -,则f(x)= __________. 13、若函数f(x)=2x 2－4x ＋9(x ≥1),且满足f －1(a ＋1)=3,则f(a)=________.
14、已知函数21x y --=的反函数是21x y --=,则原函数的定义域是_________
15、若点(1,2)既在函数b ax y +=的图象上,又在其反函数的图象上,则a=______,b=______.
16、求函数的反函数：若x
x
y -+=11(x ≠1),则f －1(x)= ______. 17、求函数的反函数：若f(x)=42-x (x ≤-2),则f －1(x)=______.
18、求函数的反函数：若f(x)=⎩⎨⎧>-≤),
0(3),0(2x x x x 则f －1(x)=______.
19、已知f(x ＋y)=f(x)＋f(y)对于任何实数x,y 都成立,①求证f(2x)=2f(x);②求f(0)的值;③求证f(x)为奇函数.
20、已知函数f(x)=b ax x
+(a ，b 为常数，a 0≠)满足f(2)=1，且方程f(x)=x 的根
只有一个，则f(x)的解析式为________
21、函数y=f （x ）及y=g(x)有相同的定义域, 且对定义域中的任意x 都有f(x)·f(－x)=1及g(x)+g(－x)=0, 则函数)(1)(1
)()(x g x f x f x F ++-=的奇偶性为____________
22、若一次函数)(x f 的反函数仍是它本身，求f (x )的解析式。
23、已知点(1，2)在函数b ax x f +=
)(的图象上，又其反函数)(1x f -的图象过
(4，－3)点，求a ，b 的值。
24、已知对于任意a,b ∈R,有f(a+b)+f(a －b)=2f(a)·f(b),且f(0)≠0
(1)求证：f(x)为偶函数;
(2)若存在正数m 使得f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T 值(T ≠0).
答案：
1、B
2、D
3、 B
4、A
5、 D
6、 B
7、C 8、 C 9、 B 10、⑴错如x x y 1+
=⑵错⑶对⑷对B 11、y=x 12、 12-x x
13、f(a)=345 14、 [-1,0] 15、a=－3,b=7.
16、 11
+-x x (x ≠－1).
17、 42+-x (x ≥0)
18、 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-).0(3
1),0(x x x x
19、 (1)令y=x 得 f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
(2) 令y=x=0得 f(0)=2f(0)→f(0)=0
(3) 令y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x) →f(-x)=-f(x)
20、22)(+=x x
x f
21、奇函数
22、或)()(R b b x x f ∈+-=)(x f ＝x .
23、 a ＝－3，b ＝7
24、证明：(1)由已知f(a+b)+f(a －b)=2f(a)·f(b)，令a=b=0,得f(0)+f(0)=2[f(0)]2
∵f(0)≠0得f(0)=1.又令a=0,得f(b)+f(－b)=2f(0)f(b)，
∴f(b)=f(－b) 即f(x)=f(－x)，∴函数f(x)为偶函数。
(2)在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)·f(b)中，取a=a+m,b=m 得f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)·f(m). ∵f(x)=0,于是f(x+2m)+f(x)=0，∴f(x+2m)=－f(x).
∴f(x+2m+2m)=－f(x+2m)=－[－f(x)]=f(x).故取T=4m 即可。