二、古巴比伦的数学——两河流域
? Tigris R and Euphrates R ——巴比伦文明 ? 也称为“美索不达米亚Mesopotamia 数学”，
早在-4000年，苏美尔人Sumerian 就在这里 建立起了城邦国家，并创造了文字。-1900 年，形成了奴隶制的巴比伦王国（现伊拉 克Iraq 一带），历时1500年。 ? 古巴比伦人和古埃及人一样，他们也没有 建成一门系统的科学。
1,4,9,16,25,36,49,1×4,1×21,...,58×1 这个问题只有在60进位计数中才能得到妥善的
解释. ? 因为当时尚未引入零以及小数点，所以这种
计数法存在许多不确切之处。 如何表示 零？——用留空位的方法。
（3）分数—以常数 60,602,603... 为分母.但 无分数的记号,与表示整数的记号混合使用.
（真值为1.414）
1 ? 17 ? 0.7083 （真值为0.7071）
2 24
a2 ? b ? a ? b 2a
将其平方后，其结果总比原数大．到了希腊 时期，著名数学家阿基米德(Archimedes )、 海伦(Heron )创造出了平方后比原数小的近 似公式．
3、古巴比伦的代数algebra知识：
? 书写材料——泥板 Tablets
? 用断面呈三角形的 笔泥板上刻出楔形 的痕迹―楔形文字 Cuneiform. 已发掘 的50万块泥板中,有 400块是数学泥板.
1、古巴比伦的计数法Sccale和六十进位制：
（1）计数法：用二种基本形状表示所有的数
1
10
古巴比伦计数表
25
（2）巴比伦数学的特点——60进位制60 system ? 在1854年发现的两块泥板中有一列数：
次近似 b1 ，若 a1 偏小，则 b1偏大，反之
亦然。取算术平均数 a2 ? (a1 ? b1 ) / 2 为下 一步近似，因为 a2总是偏大，再下一步近 似 b2 ? a / a2 必偏小,取算术平均 a 3 ? (a 2 ? b2 ) / 2 将得到更好的结果。这一程序实际上可以
无限继续下去.
最右列表示行数，两列中的对应数字（除 四个例外）正好构成一个边长为正整数的 直角三角形的斜边和一个直角边。
? 现在我们已经证明了所有的素毕氏三数 (a , b, c)
能用下列参数表达式表达：
a ? 2uv, b ? u 2 ? v2 , c ? u 2 ? v2
where (u, v) ? 1, and one odd one even
? 在耶鲁大学收藏的一块数学泥板（编号 7289）其上载有 2 的近似值，结果准确到 六十进制三位小数，用现代的符号写出来 是：1;24,51,10≈1.414213，它相当于按上述
程序取 a=11;30而取得的近似值 a.3
在平方表中给出了一些很好的近似值.如：
2 ? 17 ? 1.416 12
学典比赛
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（2）早期巴比伦代数中的一个基本问题： “求一个数，使它和它的倒数之和等于一 个给定的数。” 即 x? 1 ? a x
x 2 ? ax ? 1 ? 0
解为
a ? (a )2 ? 1 和
22
a ? (a )2 ? 1 22
（3）求解一些高次方程： ? 例：“我把长乘宽的面积10，我把长自
乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再把 这个结果乘以9，这个面积等于长自乘的面 积，问长和宽各是多少？”
若设长为 x ，宽为 y ，则
? xy ? 10 ??9( x ? y)2 ? x 2
（4）指数方程——求复利问题
例：“有一笔钱，利息为每年20% ，问经 过多长时间以后利息与本金相等？”
(1.2)x ? 2
解得
x
?
4?
(2 ?
33 60
?
22 602
)
（5）哥伦比亚大学的普林顿第322号泥板 Princeton 322th tablets ——毕达哥拉斯数
泥板长12.7cm，宽8.8cm，约-1600年以前
普林斯顿322号包括基本上完整的三列数字。左 边还应有第四列数，但已佚失。
7 11 13
等，用近似值表示。
1 7
?
8? 60
34 602
?
17 603
?
8 604
?
34 605
?
17 606
?程序化算法procedure arithmetic 的熟练技巧 －开平方根计算
? 设 x ? a 是所求的平方根，并设 a1 是这 根的首次近似；由方程 b1 ? a / a1 求出第二
（3）除法—与倒数相乘，于是要使用分数
? 在古巴比伦人遗留下来的200多块数学泥
板中有许多数表（主要有倒数表，乘法表，
平方表，立方表，平方根等表），内容是 把 1 形式的数化为有限位的60进制“小
a
数”.
?如
1 2
?
300 1 ,...,
60 81
?
160000 604
?对不能写成有限位“小数”的数如1 , 1 , 1 ,...
（4）为何采用60进位制： ① 60是许多简单数字如2，3，4，5，6，10，
12......的公倍数； ② 60使一些较小的单位如1/2，1/3，2/3，
1/10......在转化为较大单位时成为整数； ③ 60=12×5，12是12个月，而5是一只手的
手指数.
2、古巴比伦的算术arithmetic 运算： （1）加法无专门记号，减法—— （2）乘法记号—— ? 36×5=30×5+6×5—乘法分配律的萌芽 ? -2000年，已有从1×1到60×60的乘法表
? 现在我们补充所佚失的第四列，并列出这 些毕氏三数的参数值u和v，便得到了下图。
? 对此数学泥板的解释工作目前还在继续进 行，今后也许还会有新的发现。
除第11行和15行外，都是素毕氏三数
4、古巴比伦的几何知识： ? 主要成就：-2000到-1600 年，长方形，直
? -2000年，古巴比伦人已能使用代表抽象概念 的代数语言,常常用“长length”,“宽breadth”， “面积area”来代表未知数与它们的乘法等.
（1）已会解含有两个未知数的二次方程
? 例：“给定矩形的周长和面积,试求边长.”—
—相当于求解方程组
?x? y? a
? ?
xy ? b
数原巴在