例1：快速写出下列运算结果，思考如何应用公式。

（1）. cos80cos 20cos10sin 20o o o o += ▲ ；
（2）. ()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33o o o o αααα+--+-= ▲ ；
（3）. ()()sin cos cos sin αβααβα+-+= ▲ ；
（4）.
sin14cos31sin17o o o += ▲ ；
（5）. 1tan151tan15
o
o
-=+ ▲ ； （6）. sin 67.5cos67.5o o = ▲ ；
（7）. 22cos sin 8
8
π
π
-= ▲ ；
（8）.
2
1
cos 122
π
-
= ▲ ；
（9）.
cos 20cos 40cos60cos80o o o o = ▲ ；
例2 求解以下3道小题，然后总结求解此类问题的入手点和注意问题。

（1） 已知3tan 4α=
，5
cos 13β=-，()0,αβπ∈、，求()sin αβ+、()cos αβ-、tan 2α； （2） ()4cos 5αβ+=
，1
cos 7
β=-，()0,αβπ∈、，求sin α； （3） 已知()4cos 5αβ-=-
，()4cos 5αβ+=，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3,22παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，求cos 2α。

例3 已知tan tan αβ、是方程26510x x -+=的两个根，()0,αβπ∈、，求αβ+。

例4 （1）求证：tan 20tan 25tan 20tan 251o o o o ++=，你还能写出类似的式子吗？ （2）已知A B 、都是锐角，求证()()1tan 1tan 2A B ++=是4
A B π
+=
的充要条件。

（3）已知三个电流瞬时值函数式分别是122s i n I t ω
=，()
222sin 120o I t ω=-，
()322sin 120o I t ω=+。

求证：1230I I I ++=。

课堂练习。

（1） 已知2
sin cos 3
θθ+=
，求sin 2θ的值； （2） 已知A B C 、、都是锐角，且tan 0.5A =，tan 0.2B =，tan 0.125C =，求证：45o A B C ++=；
（3） 在斜ABC ∆中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=。

例5 已知函数()()sin sin cos f x x x x =+。

（1）. 求函数()f x 的周期； （2）. 求函数()f x 的单调递增区间； （3）. 求函数()f x 的最大值和此时x 的值； （4）. 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域； （5）. 求函数()f x 的对称中心和对称轴； （6）. 已知14f m ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，求314f π-⎛⎫ ⎪⎝⎭
（用m 表示）； （7）. 函数()f x 的图像如何由函数sin y x =变换得到？ （8）. 作出()f x 在一个周期内的图像。

变式训练：
（1）为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点
A ．向左平移4
π
个单位长度 B ．向右平移
4
π
个单位长度 C ．向左平移
2
π
个单位长度 D ．向右平移
2
π
个单位长度
（2）函数2
cos 2y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调增区间是 A ．,
,2k k k Z π
ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭ B ．,,2k k k Z ππππ⎛⎫
++∈ ⎪⎝⎭
C ．()2,2,k k k Z πππ+∈
D ．()2,22,k k k Z ππππ++∈
例6 已知函数()2
2cos2sin 4cos f x x x x =+-。

（Ⅰ）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。

变式训练：函数2
sin 2cos y x x =+43
3x π
π⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭的最大值是 ▲ ，最小值是 ▲ 。

例7 如图1，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,62ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭。

将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B 。

记()11,A x y 、()22,B x y 。

（Ⅰ）若11
3
x =
，求2x ； （Ⅱ）分别过A B 、作x 轴的垂线，垂足依次为C D 、。

记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积
为2S 。

若122S S =，求角α的值。

一题多解：
例8 （2015四川卷理科第12题）=+
75sin 15sin 。

例9 （2013全国卷Ⅱ理科第12题）设θ为第二象限角，若1
tan 42
πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭ ，则sin cos θθ+=_________.
例10 （2015全国卷Ⅱ理科第12题）若tan α=2tan 5
π，则
3cos()
10sin()
5
παπα-
=- A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
例11 （2015北京卷理科第15
题）已知函数2()cos 222x x x
f x ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
例12 （2015重庆卷理科第18题）已知函数(
)2sin sin 2f x x x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的单调性. 例13（2014福建卷理科第16题）已知函数
1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-.
（Ⅰ）若02
π
α<<
，且sin 2
α=
，求()f α的值； （Ⅱ）求函数
()f x 的最小正周期及单调递增区间.
例14 （2011 浙江卷改编题）若02
π
α＜＜，02
π
β-
＜＜，1
cos(
)4
3π
α+=
，cos()423
πβ-=，求cos()2
β
α+
的值。

变式14-1 已知02
π
βαπ<<
<<，
且1c o s 29βα⎛
⎫
-=- ⎪⎝
⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，求()c o s αβ+的值。

变式14-2 已知(),0,αβπ∈，且()1tan 2αβ-=
，1
tan 7
β=-，求2αβ-的值。