实验三 随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析
一、实验目的
1、了解随机信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱特性。

2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱有何变化，分析随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性
二、实验仪器与软件平台
1、 微计算机
2、 Matlab 软件平台
三、实验步骤
1、 根据本实验内容和要求查阅有关资料，设计并撰写相关程序流程。

2、 选择matlab 仿真软件平台。

3、 测试程序是否达到设计要求。

4、 分析实验结果是否与理论概念相符
四、实验内容
1、 随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析
（1）实验原理
①随机信号的分析方法
在信号系统中，可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。

确定信号具有一定的变化规律，二随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。

在这里引入了一个随机过程的概念。

所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个采样序列。

随机过程可以分为平稳的和非平稳的，遍历的和非遍历的。

如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化。

则随机过程是平稳的。

如果一个平稳的随机过程的任意一个样本都具有相同的统计特性。

则随机过程是遍历的。

下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，可以随机取随机过程的一个样本值来描述随机过程中的统计特性。

随机过程的统计特性一般采用主要的几个平均统计特性函数来描述，包括、均方值、方差、自相关系数、互相关系数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

a.随机过程的均值
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。

基于过程的各态历经行，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示，即
∑-==1
/)()]([N t N
t x t x E
均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。

b.随机过程的均方值
信号x(t)的均方值E[x 2
(t)]，或称为平均效率，也是辛亥平均能量的一种表达。

N
t x t x E N t /)()]([(1
22
∑-==
均方值表示信号的强度，其正平方根，又称有效值，也是信号平均能量的一种表达。

c.随机信号的方差
信号x(t)的方差定义为
N
t x E t x N t /)]]([)([1
22
∑-=-=σ
2σ称为均方差或标准差。

可以证明，222μϕσ+= 其中：2σ描述了信号的波动量；2
μ
描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。

d.随机过程的自相关函数
信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。

对于平稳随机过程X(t)和Y(t)在两个不同时刻t 和t+τ的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。

在离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为：
∑∑-=-+=10
1
N t
xy N
/)t (y )t (x ),t (N R τττ τ,t=0,1，2,……N-1。

e.随机过程的频谱
信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号)(f x ，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

时域信号x(t)的傅氏变换为：
-j2πf t ()()x f x t e dt
∞
-∞
=
⎰
d.随机过程的功率谱密度
随机信号的功率普密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，表示X(t)的平均功率在频域上的分布。

它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。

随机过程的功率普密度为：
]
2|)(|lim [)(2
T
X E x G Ti T ω∞→= －∞＜ω＜＋∞
②线性系统特性
系统的数学模型满足叠加原理。

若对于任意常数a 和b ，输入信号x 1(t)和x 2(t) ，有
L [ax 1(t)+bx 2(t)]=aL [x 1(t)]+bL [x 2(t)]
则称系统为线性系统，线性系统下面有一些重要性质：叠加性、比例性、微分性、积分性、频率保持性等、
③非线性系统特性
在一般电子设备中，除了线性电路之外，通常还包括一些非线性电路，例如检波器、限
幅器、鉴频器等。

非线性电路具有下述特点：
a.叠加原理已不适用，当信号与噪声共同通过非线性电路时，不能像线性电路那样将他们分开研究。

b.会发生频谱变换，其输出产生了输入信号中没有的新频率分量，例如输入信号的各次谐波。

（2）实验任务与要求
①通过实验，要求掌握线性系统、非线性系统基本特性，比较通过系统的随机信号与通过系统后的随机信号的特性。

实验框图如图所示。

②输入信号x(t)、噪声n(t)的测试与分析
输入信号
)(
sin
sin
sin
)(
3
2
1
t
n
t
t
t
t
x+
+
+
=ω
ω
ω
，其中：1
ω、
2
ω、3ω为
1KHz、2KHz、3KHz。

噪声n(t)为高斯白噪声
要求测试n(t)的均值、均方值、方差、自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度，并用波形图表示。

分析实验结果，掌握均值、均方值、方差、自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度的物理意义。

噪声信号的均值 x_mn = -0.0347
方差 x_vr = 0.4823
均方值 x_st = 0.4811
③线性系统设计及测试
研究随机信号经过线性系统后的线性变换问题，需要设计一个线性系统。

线性系统设计成一个滤波器。

要求信号经滤波器后只剩下2kHz的信号。

滤波器设计好之后，要求测试它的幅频特性。

滤波后特性x1(t)
④非线性系统设计及测试
研究随机信号经非线性系统后的额非线性变换问题，需设计一个非线性系统。

在这里非线性系统分别设计成一个限幅器和一个平方律器件。

平方律器件硬件实现一般利用二极管的特性曲线，如图。

时域特性：当x>0时,
2
bx
y=，当x≤0时,y=0。

频域特性：3
2
)
(
ω
ω
b
F=。

软件实现也
是利用这个平方特性。

限幅器是一种波形变换或整形电路。

当输入信号在一定范围内变化是，输出电压跟随输入电压相应变化，完成信号的传输。

二档输入电压超过这一范围时，期超过的部分就被削去，输出电压保持不变。

限幅器、平方律器件设计好之后，要求测试它的频率特性并画出频率特性曲线。

经平方率检波器后信号特性曲线图
经限幅器后信号曲线特性图
⑤按以上要求编写好程序，测试x(t)x1(t)x2(t)y1(t)y2(t)的均值、均方值、方差、自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度，并对两路系统输入和输出信号进行比较。

两路系统输入相同，均为x(t)。

输出时y1均值更大，y2方差更大。

五、实验结论
随机信号经过线性系统后，不会增加新的频率分量。

经过滤波器滤波后，可以从调制信号中得到特定频率范围内的信号，从而提取消息信号。

随机信号经过非线性系统，不但含有基频，而且产生了谐波分量。

平方率检波的输出与输入载波电压幅度的平方成正比（即输入信号的功率），因而，在无线电测量仪表中得到较为广泛的应用。

六、心得体会
通过这次实验，我了解到随机信号自身的数学特性，包括均值，方差，均方值等等，以及随机信号通过线性非线性系统后有何变化。

掌握了一定的matlab技巧，直观的看到了随机信号，高斯白噪声信号以及滤波器限幅器的特点。

加深了我对随机信号的认识，对以后的学习大有帮助。