新概念型问题
一、选择题
1、如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案：B
二、填空题
1、(2013年上海市)一个函数的图像关于y 轴成
轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数
2
4y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△ABP 的面积是 ▲ ．
答案：8；
2、对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=*)
()
(b a b b b a b b a a a . 根据这个规则，则
方程x *2＝9的解为________________________． 答案：－3或
2
1
37- 3、定义：a 是不为1的有理数，我们把
11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1
112
=--，1-的差倒数是
111(1)2
=--．已知11
3a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4
a 是3a 的差倒数，……，依此类推，则2012a = ． 答案：
4
3
4、现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2
－3a +b ，如：3★5＝32
－3×3+5，
若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __． 答案： —1或4
5、数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：1111
12151012-=-．因此就将具有
这样性质的三个数称之为调和数，若x 、y 、2 (x >y >2且均为正整数)也是一组调和数．则
x 、y 的值分别为 ▲ ．
答案：6、
3
6、定义运算“※”的运算法则为: a※b
= ，则(2※3) ※3 = ． 答案：2
7、现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2－3a +b ，如：3★5＝32
－3×3+5，
若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __． 答案： —1或4 三、解答题
1、 (2013年上海市)（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD 是一次函数1y x =+图像的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数1y x =+，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数k
y x
=
(0)k >，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，点(2,)D m (2)m <在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式；
（3）如图3，若某函数是二次函数2y ax c =+(0)a ≠，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，
C 、
D 中的一个点坐标为(3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式．
答案：解：（
1）（I ）如图1，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时：
正方形ABCD 1
分） （II ）当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时：
设正方形边长为a
，易得3a =，………………………………………（1分） 解得a =
1分）
（第24题图3）
（第24题图1）
（第24题图2）
（2）如图2，作DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，
易证△ADE ≌△BAO ≌△CBF ．
∵点D 的坐标为(2,)m ，2m <，∴DE = OA = BF = m ， ∴OB = AE = CF = 2 - m ．
∴OF = BF + OB = 2，∴点C 的坐标为(2,2)m -．………………………（1
分）
∴22(2)m m =-，…………………………………………………………（1分） 解得1m =．…………………………………………………………………（1分）
∴反比例函数的解析式为2
y x
=
．…………………………………………（1分） （3）212388y x =+或272234040y x =-+或23177y x =+或2355
77
y x =-+．…（5分）
注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分
2、(本题满分10分) 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形
为倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC 中，∠A=2∠B ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别记为a,b,c ，倍角三角形的三边a,b,c
（图28-1） （图
28-2） （图28-3） （图28-4） （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空： （2）如图28-4，
对于一般的倍角△ABC ，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB 、∠CBA 、
∠C 的对边分别记为a 、b 、c ，a 、b 、c 三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4
a
给出的辅助线提示加以证明． 解：（1）
每空1分共4分 （2）
c
b a a b +=，（2分） 证明正确（4分）
3、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PA 移动，已知台风移动的速度为30千米/时，
受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东︒75方向上，与P 点相距320千米.
（1）请你说明本次台风会影响B 市； （2）求这次台风影响B 市的时间.
答案：解：作AP BC ⊥，垂足为C ，︒=∠30APB ，200160<=BC （5分）；设D 到
E 对B 市有影响，则240160200222=-=DE ，
830
240
= （10分） 4、如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明．．．E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 恰是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
北
B
答案：解⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴1
2
CD AB =
，∴CD =BD ． ∴∠BCE ＝∠ABC ．∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BEC ＝∠ACB ．∴△BCE ∽△ABC ． ∴E 是△ABC 的自相似点． ⑵①作图略．
作法如下：（i ）在∠ABC 内，作∠CBD ＝∠A ；
（ii ）在∠ACB 内，作∠BCE ＝∠ABC ；BD 交CE 于点P ．
则P 为△ABC 的自相似点． ②连接PB 、PC ． ∵P 为△ABC 的内心 ∴12PBC ABC ∠=
∠，1
2
PCB ACB ∠=∠． ∵P 为△ABC 的自相似点
∴△BCP ∽△ABC ．
∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC=2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP=4∠A
∵∠A +∠ABC+∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A+4∠A ＝180°．
∴1807A ∠= ．∴该三角形三个内角的度数分别为1807 、3607 、7207
．
5、定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．
（1）若特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；
（2）已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数．
（本小题满分5分） 解：(1) 由题意得 10m +=.
∴ 1m =-. -------1分
（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分
∵ OAC △的面积为4，
∴
1
242
n n ⨯= ∴ 2n =.
∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.
∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩
∴ 2,
4.
k b =-⎧⎨
=-⎩ …………………………4分
∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--.
∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]
24--，. ………………………5分。