第四章 根轨迹法
§4-1 反馈系统的根轨迹 §4-2 绘制根轨迹的基本规则 §4-3 广义根轨迹
§4-1 反馈系统的根轨迹
R(s)
２K
ห้องสมุดไป่ตู้
C(s)
S(S ２)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R( s )
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
(3)n- m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 远,其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点为
a
0
(4)
(1 j) 41
(1
j)
(1)
1.67
与实轴的交角为
a
(2l 1) nm
1 3
60
a
(2l 1) nm
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
m
|G(s)H(s)|
K| i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1
i 1
闭环极点和那些参数有关？
两类根轨迹： • 增益根轨迹 • 参数根轨迹
§ 4-2 绘制根轨迹的基本规则
180o根轨迹的绘制规则
1. 根轨迹分支数
根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数
s2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1-2k
s2 -1- 1-2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 环极 点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
试画出其根轨迹.
解: a 1
a 60o, 180o, 300o
k= S(S 1)(S 2)
d d
[S
(
S
1)(S 2)]s
0
3 2 6 2 0
1 0.423， 2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根轨迹与虚轴的交点
(1)把s j代入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j) 0
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
终 止 于 Z1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 于实 轴
2. 根轨迹的连续性与对称性
根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线
3. 根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点或无穷远点
4. 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的交角 :
n
m
Pi Zi
a
i 1
i 1
nm
a
2l 1
nm
(l 0,1,L , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
与实轴正方向的夹角
入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角
m
n
Pl 180o (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180o (Zl Pj ) (Zl Z j )
j 1
j 1
jl
p1
A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解得及Kc
上例中,可求得根轨迹与虚轴的交点
-j 3 -3 2 j2 k 0 -3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/s) KC 6
(2)应用Routh判据
8.根轨迹的出射角与入射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向
-4 -3
-2 -1
5.实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域,若其右边开环零极点个数之和
为奇数，则该区域必是根轨迹(按幅角条件分析)
6.根轨迹与实轴的交点(分离点与会合点)
n
i 1
S
Pi
ｋ= m
i 1
S
Zi
S
dk 0
d
例.已知某负反馈系统开环传函为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
根轨 迹法的基本任务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 ,通 过 图 解 的
方法找出闭环极点.
根轨迹的概念 开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环系统特征方程
的根在S平面内变化的轨迹。
R(s)
C(s)
G(s)
3.根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
幅值条件： |G(s)H(s)| 1
相角条件：G(s)H(s) 180o i360o (i 0, 1, 2,L )
G(s)H(s) K(s-z1 )(s-z2 )L (s-zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
试绘制系统的概略根轨迹
解: (1)起始点 p1 0 p2 -0.5-j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5
实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-] (2)渐近线 180o 一条 (3)无分离点 (4)出射角 , 入射角
p3 180o-56.5o 19o 59o-108.5o-90o-37o 79o z1 180o 63.5o 153o 199o 121o-90o-117o 149.5o
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
例.设系统开环传函为
G(S) K(S1.5)(S2 j)(S2-j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根轨迹与系统性能
稳定性:根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能:根据坐标原点的根数,确定系统的型别,同时可以
确定对应的开环增益
动态性能:过阻尼 0 k 0.5