第四章 根轨迹法4-1 根轨迹的基本概念一． 根轨迹概念：闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根.当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹.根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.例： 设控制系统如图4-1所示()()15.0+=s s Ks G()()2220+=+=s s K s s K ,开环极点： 01=p , 22-=p ()()()0202K s s K s R s C s ++==Φ；式中K K 20= 此系统的特征方程式可写为：()02,1121102K s K s s s -±-=⇒=++=∆ 讨论： 200210-===s s K ，时，111210-=-==s s K ，时， j s j s K --=+-==112210，时， ∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210，时，令k 为0 ∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值图4-1 控制系统的结构图R (s )C (s )K s(0.5s+1)标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。

图上，粗实线就称为系统的根轨迹。

分析:1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定.2.根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s3.100<<K 时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态.4.10=K 时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线.5.10>K 时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡.6.开环增益K 可有根轨迹上对应的0K 值求得.0K 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.二、根轨迹的幅值条件和相角条件设单闭环控制系统框图如图：通常有两种表示形式： A ．时间常数形式：∏∏==++=ni imj j s T s K s H s G 11)1()1()()(τ图4-3 控制系统的结构图R (s )C (s )H(S)G(S)B ．零、极点形式：∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()(则，系统特征方程:1+G(s)H(s)=0 ⇒ G(s)H(s)= -1 ⇒ 幅值条件: |G(s)H(s)|=1相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,…考虑开环传递函数一般形式：∏∏==--=ni imj j p s z s K s H s G 110)()()()( ,因此幅值条件:1||||110=--∏∏==ni imj j ps z s K 或 ∏∏==--=mj jni izs p s K 110||||相角条件:)()(11∑∑==-∠--∠mj ni j jp s zs =±(2q+1)π, q=0,1,2,…说明：幅值条件与K 0有关，而相角条件与K 0无关。

因此，凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件；而满足幅值条件的点不一定满足相角条件！因此，绘制根轨迹的一般步骤是：先找出S 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K 值。

例子：P107，例4-1。

4-2 绘制根轨迹的基本规则闭环特征方程：1)()(110-=--∏∏==ni imj j p s z s K上式表明了系统闭环极点和开环零、极点的关系。

基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定闭环极点的位置了。

根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的。

在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K 0，但是当可变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。

这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循 1800+2k π条件的称为1800 根轨迹；其相角遵循00+2k π条件的，称为00 根轨迹。

规则1：（对称性法则）根轨迹对称于S 平面的实轴。

规则2：根轨迹的分支数、根轨迹的起点和终点：分支数等于特征方程的阶数，为n 条；根轨从n 个开环极点出发，其中m 条终于开环零点，(n-m)条终点在无穷远处。

∏∏==--=mj jini zs p s K 110||||, K 0=0为根轨迹的起点 s = p i∏∏==--=n i imj jps zs K 110||||1， K 0→∞为根轨迹的终点j 或s →∞规则3：根轨迹在实轴上分布：实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根轨迹的部分。

规则4：根轨迹的渐进线n-m 条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定：渐进线的倾角为: ,2,1,0)12(=-+±=q mn q a πϕ渐进线与实轴的交点为:开环零点数开环极点数开环零点的实部之和开环极点的实部之和--=--=∑∑==mn zp n i mj ji a 11σ例1：设控制系统的开环传递函数为)22)(3()2(3)()(2++++=s s s s s K s H s G ,求渐进线和与实轴的交点。

解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。

共有四条根轨迹分支。

有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。

（2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为14180)12()12(-︒⨯+=-+=q m n q a πϕ 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。

渐近线与实轴的交点为114)2()1130(111-=-----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i nj j a σ规则5：根轨迹的分离点、会合点、分离角：两条以上根轨迹的交点。

分离点和会合点必须满足方程00=dsdK ----必要条件 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角分离角=rq π)12(+ ， r 为重根数，q=0,1,2… 例2：已知控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(20++-+=s s s s s K s H s G ，确定根轨迹的分离点。

解 ：系统的特征方程式为：0)1()164)(1(02=++++-s K s s s s即：1)164)(1(20+++--=s s s s s K利用0/0=ds dK ,则有0)1(16242110322340=+-+++-=s s s s s ds dK 解之可得，分离点d 1=0.46 和 d 2=－2.22。

规则6：根轨迹的出射角和入射角：出射角:从复数极点出发的角度。

入射角:到达复数零点的角度。

P116， 图4-13:取靠近4P 的点i s ,由相角条件:()()()()()() ，，，，2101243211=+=-∠--∠--∠--∠--∠q q p s p s p s p s z s i i i i i π 4p s i →时，则：()()()()()()143424144412z p p p p p p p q p s i p -∠+-∠--∠--∠-+=-∠=πθ一般情况，出射角：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∠--∠+=∑∑≠==nk i i i k m j j k pkp p z p 11πθ同理，入射角：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-∠--∠-=∑∑=≠=ni i k m k j j j k zkp z z z 11πθ规则7：根轨迹与虚轴的交点两种方法: (1).用劳斯判据求(2).将ωj s =带入特征方程求解例3：设系统的开环传递函数为：)2)(1(2)()(++=s s s Ks H s G ，试绘制系统的根轨迹。

解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。

（1）系统的开环极点为0，1-，2-是根轨迹各分支的起点。

由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。

（2）系统的根轨迹有3=-m n 条渐进线渐进线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=q m n q a πϕ 取式中的q =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。

渐进线与实轴的交点为： 13)210(111-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==m i i nj j a z p m n σ 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。

（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图的粗实线所示。

（4）确定分离点： 系统的特征方程式为：022323=+++K s s s即：)23(2123s s s K ++-= 利用0/=ds dK ，则有：0)26(2123=++-=s s ds dK解得：423.01-=s 和 577.12-=s由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s 2=－1.577显然不是所要求的分离点。

因此，两个极点之间的分离点应为s 1=－0.423。

（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 3s 1 2 2s32K 1s326K-s2K由劳斯判据，系统稳定时K 的极限值为3。

相应于K =3的频率可由辅助方程0632322=+=+s K s 确定。

解之得根轨迹与虚轴的交点为2j s ±=。

根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12±=±=ω方法二 令ωj s =代入特征方程式，可得：02)(2)(3)(23=+++K j j j ωωω 即：0)2()32(22=-+-ωωωj K令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即：0322=-ωK ，022=-ωω 所以 ：2±=ω 3=K 系统的根轨迹如图所示：规则8：闭环极点的和与积.系统特征方程(n>m 时)为 闭环极点的和：()开环极点之和和∑==ni i p 1闭环极点的积：()()∏∏==+=mj i ni i z K p 101积可利用此性质判闭环极点i s 的分布情况 一些i s 变化后,另一些i s 会做相反变化.例4：在例3中，确定根轨迹各分支上每一点的K 值S 平面σωj根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。

当前两条根轨迹分支和虚轴在K =3处相交时，可按式3)41.10()41.10(-=-+++j j x σ（开环极点0，-1，-2之和；即和为定值）求出后一条根轨迹分支上K =3的点为οx =－3。

由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j 0。

因此，后一条根轨迹分支的相应点为3)423.0()423.0(-=-+-+x σ所以 ，οx =－2.154。