2020年上学期段考高二数学试题卷时量：120分钟 满分：150分一、选择题（5分×12）1. 已知集合{}21A x x =>，()(){}210B x x x =+->，则A ∩B 等于（ ）A ．(0, 2) B. (1, 2) C. (-2, 2) D. (-∞, -2)∪(0, +∞) 2. 已知复数z 的共轭复数112i z i -=+，则复数z 的虚部是（ ）A ．35B. 35iC. 35-D. 35i -3. 函数2()(1)3f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3⎤-∞⎥⎦B.)1,3⎡+∞⎢⎣C. (10,3⎤⎥⎦ D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 已知点A (2, -1)，点P (x , y )满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，O 为坐标原点，那么OA OP ⋅的最小值是（ ）A ．11 B. 0 C. -1 D. -55. 在区间[-3, 3]上随机取一个数x ，则使得()lg 2lg 4x +≤成立的概率为（ ） A ．67 B. 47 C. 56 D. 236. 函数1()log 1a x f x x x +=+（a >1）的图像大致是（ ）A. B. C. D.7. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图像如右图所示，则函数()4f x π-图像的一个对称中心是（ ）A ．(),012π- B. ()7,012π C. (),03π- D. ()3,04π8. 已知函数()sin 3cos f x a x x =的图象的一条对称轴为直线56x π=，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）O xy3π212π-2A ．0 B. 3π C. 23π D. 43π9. 设函数()()4cos f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π-=+，若函数()()2sin 2g x x ωϕ=+-，则()6g π的值是（ ）A ．0 B. -1 C. -2 D. -3 10. 在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的取值范围是（ ） A．B. (C. (D. (11. 已知e 1, e 2是单位向量，且e 1·e 2 =0，向量a 与e 1, e 2共面，|a - e 1 - e 2 | =1，则数量积a ·(a- 2e 1 - 2e 2) =（ ）A ．定值-1 B. 定值1 C. 最大值1，最小值-1 D. 最大值0，最小值11 12. 若函数()223x x f x m m -=+⋅+-有两个不同的零点12,x x ，且12121x x x x +<+，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()0,1 B. ()20,3 C. ()2,13 D. ()9,+∞二、填空题（5分×4）13. 已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角是120°，c = 2a + 3b , d = k a - 4b 且c 与d 垂直，k 的值为______.14. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为_______15.化简结果：=___________16. 已知0AB AC ⋅=，1AB AC ⋅=，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值为________三、解答题（共70分）17.（10分）如图，在△ABC 中，D为BC 的中点，AD 长为3，ABC S =△，1cos 4ADC ∠=-.（1）求AC 的长；（2）求sin ∠B .18.（12分）已知 |a|=|b | = 1，a 与b 的夹角为45°. （1）求a 在b 方向上的投影； （2）求|a +2b |的值；（3）若向量(2a -λb )与(λa -3b )的夹角是锐角，求实数λ 的取值范围.19.（12分）已知函数3()log 3m x f x x -=+（m >0且m ≠1）（1）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性；（2）若01m <<，是否存在0βα>>，使()f x 在[],αβ上的值域为log (1),log (1)m m m m βα--⎡⎤⎣⎦？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，说明理由.20.（12分）已知向量a ()33cos ,sin 22x x =，b ()cos ,sin 22x x =-，且,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求a ·b 和|a +b |；（2）若函数()f x =a ·b +λ |a +b | 有零点，求实数λ的取值范围.ABC21.（12分）已知函数()()2cos cos 3f x x x π=-，()0,x π∈（1）求()f x 的单调增区间；（2）函数()()g x f x a =-有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）A 为锐角△ABC 的内角，且()1f A =，点M 在BC 上，AM 为∠BAC 的角平分线，AM =2，求11BM CM -的取值范围.22.（12分）已知函数1()1x f x x -=+，()2()2x g x f =.（1）判断函数3()()g x F x x =的奇偶性，并说明理由； （2）若方程()10g x k -+=有实数解，求实数k 的取值范围. （3）若不等式()12f ax >在(),1-∞-上恒成立，求实数a 的取值范围.2020年上学期段考高二数学答案一、选择题 BADDD ABCCC AB 二、填空题 16 19 2sin2 1311. 设1(1,0)e =，1(0,1)e =，(,)a x y =，则12(1,1)1a e e x y --=--=，∴22(1)(1)1x y -+-=，则()1222(,)(2,2)a a e e x y x y ⋅--=⋅--22(2)(2)(1)(1)21x x y y x y =-+-=-+--=-. 12. 不妨设()f x 的两个零点12x x <，由12121x x x x +<+，即()()12110x x --<，∴121x x <<. 令()0f x =，得：4(3)20x x m m +-+=，令2x t =，则方程2(3)0t m t m +-+=有两根12,t t ，且1202t t <<<，记2()(3)g t t m t m =+-+，则有：{(0)0(2)320g m g m =>=-<，203m ⇒<<.三、解答题17.（1）由1cos 4ADC ∠=-，∴sin ADC ∠= …… …… …… 1分∵ 1sin 2ADC S AD DC ADC =⋅∠△ 12ABC S =△， …… …… …… 2分即3DC ⋅=DC =2. …… …… …… 3分 在△ADC 中：2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠()22132232164=+-⋅⋅⋅-=，∴AC =4. …… …… …… 5分 （2）在△ADB 中：1cos cos 4ADB ADC ∠=-∠=，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠22132232104=+-⋅⋅⋅=，∴AB …… …… …… 7分由sin sin AD ABB ADB =∠∠，∴3sin B =∠sin B ∠=. …… …… …… 10分18.（1）a 在b 方向上的投影cos ,2cos451a a b <>=⋅︒=； …… …… …… 4分 （2）21cos451a b ⋅=⋅⋅︒=，()222a b a b+=+2244a b a b =++⋅24410=++=；…… …… 8分（3）()2a b λ-与()3a b λ-的夹角是锐角，则有()()230a b a b λλ-⋅->，且()2a b λ-与()3a b λ-不共线.而()()23a b a b λλ-⋅-=2222263760a a b a b b λλλλλ-⋅-⋅+=-->16λ⇒<<；……10分 ()2a b λ-与()3a b λ-不共线，则有：23λλ-≠-，即26λ≠，λ⇒≠ …… …… 11分综上所述：(()6,6λ∈. …… …… ……12分19.（1）由303x x ->+，解得：3x <-或3x >， …… …… …… 1分故()f x 的定义域为：()(),33,-∞-+∞； …… …… …… 2分∵36133x x x -=-++是(),3-∞-及()3,+∞上的增函数. …… …… …… 4分 ①若1m >，3()log 3m x f x x -=+是(),3-∞-及()3,+∞上的增函数；②若01m <<，3()log 3m x f x x -=+是(),3-∞-及()3,+∞上的减函数. …… …… 6分（2）显然3βα>>，由（1）知01m <<时，()f x 在()3,+∞单调递减，据题意则有：3()log log (1)3m m f m αααα-==-+，3()log log (1)3m m f m ββββ-==-+， …… …… 7分即,αβ是方程3(1)3x m x x -=-+在()3,+∞上的两不同实根， …… …… …… 8分 方程变形为2(21)330mx m x m +-+-=，设2()(21)33g x mx m x m =+-+-，则()g x 在()3,+∞有两个不同的零点，则有：201(21)4(33)01232(3)120m m m m m mg m <<⎧⎪∆=--->⎪⎨->⎪⎪=>⎩， …… …… ……10分0m ⇒<<.故所求m 存在，m ⎛∈ ⎝⎭. …… …… …… 12分20.（1）33cos cos sin sin 2222x x x x a b ⋅=-()3cos cos 222x x x =+=. ()2a b a b+=+222a b ab =++⋅2cos 2cos x x ====-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）()f x a b a b λ=⋅++cos22cos x x λ=-，令[]cos 1,0t x =∈-，则2cos221x t =-，2()221f x t t λ=-⋅-，[]1,0t ∈-，显然0t =时，()0f x ≠. 令()0f x =，则12t tλ=-，[)1,0t ∈-，显然12t t -是[)1,0-上的增函数，12t t -在[)1,0-上的值域为)1,2⎡-+∞⎢⎣，故)1,2λ⎡∈-+∞⎢⎣.21.（1）()()2cos cos 3f x x x π=-12cos cos 2x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos sin x x x =()11cos 222x x =++()1sin 226x π=++. …… …… …… 1分 由22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），即,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）时，()f x 单调递增， …… …… …… 3分 又()f x 的定义域为()0,π，故()f x 的递增区间为(0,6π⎤⎥⎦和)2,3ππ⎡⎢⎣； …… …… 4分（2）令()0g x =，则()1sin 226a x π-=+，则该方程在()0,π上有2个根. 又()0,x π∈时，()132,666x πππ+∈，则有：1112a -<-<且1122a -≠，解得：1322a -<<且1a ≠，故a 的取值范围是()()13,11,22-； …… …… …… 8分（3）由()1()sin 2126f A A π=++=，∴()1sin 262A π+=，又()2,2666A ππππ+∈+，∴5266A ππ+=，∴3A π=. …… …… …… 9分 ∵AM 为∠BAC 的角平分线，故6BAM CAM π∠=∠=，又AM =2，在△ABM 中，2sin sin 6BM B π=，∴1sin BM B =，同理：1sin CM C=， …… …… …… 10分 ∴11BM CM -()sin sin sin sin 3B C B B π=-=-+()1sin sin 23B B B π==-， ∵锐角△ABC ，∴2B π<，且32A B B ππ+=+>，∴(),62B ππ∈，则(),366B πππ-∈-，则()()11sin ,322B π-∈-，即11BM CM-的取值范围是()11,22-. …… …… …… 12分22.（1）222141()2141x x x x g x --==++，4114()()4114x xx x g x g x ----===-++. 又3()()g x F x x =，3()()()g x F x x --=-33()()()g x g x F x x x-===-，故()F x 是偶函数； …… …… …… 4分 （2）由()10g x k -+=，故412()1124141xx x k g x -=+=+=-++，∵()411,x +∈+∞，则()220,241x-∈+，若原方程有解，则()0,2k ∈； …… …… …… 8分（3）法一：1()2f x >的解集为：()(),13,-∞-+∞， …… …… …… 9分则()12f ax >时，1ax <-或3ax >， …… …… …… 10分又 (),1x ∈-∞-，即1a x >-或3a x <对于(),1x ∈-∞-恒成立，∴1a ≥或3a ≤-. …… 12分法二：由()1112ax f ax ax -=>+，即302(1)ax ax ->+，显然0a ≠，上述不等式等价于()()310x x a a -+>. …… …… …… 9分①当0a >时，原不等式的解集为()()13,,aa -∞-+∞，原不等式在(),1-∞-上恒成立，则有：11a-≤-，即1a ≥； …… …… …… 10分②当0a <时，原不等式的解集为()()31,,aa -∞-+∞，则有：31a-≤，即3a ≤-. …… 11分 综上所述：a 的取值范围是(][)31,-∞-+∞. …… …… …… 12分。