答案： B
2x＋y≤3， x＋2y≤3， 3．(2010·上海卷)满足线性约束条件x≥0， y≥0
的目标函数 z＝x
＋y 的最大值是( )
A．1 C．2
3 B.2 D．3
解析： 可行域如图阴影部分所示，易得A(1,1)． z＝x＋y在A(1,1)处取得最大值zmax＝2.
答案： C
4．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是________． 解析： 由不等式组画出可行域如图．
(2)∵z＝yx＝yx－－00. ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率． 观察图形可知 zmin＝kOB＝25. (3)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结 合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29. ∴2≤z≤29.
第4课时 简单线性 规划
1．二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)．所有这 样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 解集． . 2．二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成 三类： (1)满足Ax＋By＋C ＝ 0的点； (2)满足Ax＋By＋C ＞ 0的点； (3)满足Ax＋By＋C ＜ 0的点．
x－4y＋3＝0， 由3x＋5y－25＝0， 解得 B(5,2)． (1)由 z＝4x－3y，得 y＝43x－3z. 求 z＝4x－3y 的最大值，相当于求直线 y＝43x－3z的纵截距－3z的最小 值．平移直线 y＝43x 知，
当直线 y＝43x－3z过点 B 时，－3z最小，z 最大． ∴zmax＝4×5－3×2＝14.
将△ABC 的面积平分．故选 A.
答案： A
【 变 式 训 练 】 1.(2011·吉 林 延 边 州 一 模 ) 若 不 等 式 组
yx≥－ay＋，5≥0， 0≤x≤3
表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是
() A．a＜5 C．a＜5 或 a≥8
B．a≥8 D．5≤a＜8
解析： 作出如图所示的可行域，要使该平面区域表示三角形，需 满足5≤a＜8.
x－4y＋3≤0， 变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0，
x≥1，
(1)假设 z＝4x－3y，求 z 的最大值； (2)设 z＝yx，求 z 的最小值； (3)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围．
解析： 由约束条件x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示． 由x3＝x＋1，5y－25＝0， 解得 A1，252. 由xx＝－14，y＋3＝0， 解得 C(1,1)，
3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分， 当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有 相同 的 符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有 相反 的 符号．
4．线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数
当直线x－y－z＝0过点A(1,0)时，z＝x－y取得最大值， zmax＝1－0＝1. 答案： 1
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资 每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木 工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是______________________．
若不等式组xx＋≥20y，≥4， 2x＋y≤4
所表示的平面区域被直线 y＝kx＋2 分为
面积相等的两部分，则 k 的值是( )
A．1
B．2
1 C.2
D．－1
解析： 画出可行域如图中的△ABC，其中 A(0,4)，B(0,2)，C34，43.
y＝x＋2， 当 k＝1 时，由2x＋y＝4
得 D32，83.D 恰为 AC 的中点，直线 y＝x＋2
【思考探究】 可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ 提示： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解 不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足 不等式( )
A．x＋y－1＜0
B．x＋y－1＞0
C．x－过(0,1)和(1,0)点，
可行解 可行域 最优解
线性规划问题
意义
由变量x，y组成的
不等式(组)
由x，y的 一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
关于x，y的函数，解析式 如z＝2x＋3y等
关于x，y的 一次 解析式 (x，y)
满足线性约束条件的解
所有可行解组成的 集合
使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题
答案：
50x＋40y≤2 000 x∈N＋ y∈N＋
判断二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 直接定界，特殊定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时 直线画成实线．若直线不过原点，则以原点坐标(0,0)代入验证判断；若 直线过原点，可选取(0,1)、(1,0)等点代入验证判断．
答案： D
1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标 函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最 值．
2．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关， 当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点(一般是 两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移．
∴对应的直线为x＋y－1＝0，
又∵原点(0,0)不在区域内，
∴平面区域满足不等式x＋y－1＞0.
答案： B
2．不等式组x2－x－2yy－＋11≤≥00 表示的平面区域为(
)
x＋y≤1
A．四边形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析： 画出不等式组表示的 平面区域如图，易知2x－y＋1＝0与x －2y－1＝0关于y＝x对称，与x＋y＝1 所成角相等，故不等式组表示的平面 区域为等腰三角形及其内部．