椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.证明：延长F 2H 至M ，交PF 1于M∵PT 平分∠MPF 2 ，又F 2H ⊥PT ，∴2||||PM PF = 又12||||2PF PF a +=，∴11||||2||2||||PM PF a F M OH OH a +===⇒=. ∴H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1， 圆心为O 1，由椭圆定义知1212||||||||||||MF MF AB MF AB MF +=⇒=- ∴112111||||(||||)22OO MF AB MF a r ==-=- ∴⊙O 、⊙O 1相内切（三）设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 证明：设旁切圆切x 轴于'A ，切2PF 于M ，F 1P 于N ，则||||PN PM = ，2|||'|MF MA =， 11|||'|F N F A =， ∴1122||||||||PF PM F F MF +=+1221222222|||||'||||'|222|'||'|||PF PF F A F F F A a c F A F A a c F A +-=+⇒=+⇒=-=∴'A 与A 2重合.（四）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明：设交点00(,)S x y ，1(,)P m n ，2(,)Pm n - ∵111P A A S K K = 222P A P S K K =，∴0220000222200000y n m a x a y y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩ 又222222222222211m n n m n b a b b a a m a +=⇒=-⇒=- ∴2202220y b x a a =-2200221x y a b ⇒-=，即轨迹方程为22221x y a b-=（五）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.证明：对x 求导可得：2222'0x y y a b⋅+= ∴2020'x b y y a =，∴切线方程为200020()x b y y x x y a-=--即2222220000y ya y a xx b x b -=-+， 即222222220000y ya xx b x b y a a b +=+=，∴00221xx yy a b+=（六）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线，切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 证明：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则过点12P P 、切线分别为1122122222:1,:1x x y y x x y yl l a b a b+=+= ∵0P 在12l l 、上 ∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过P 1，P 2方程00221x x yy a b+=（七）AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y 则(,)22A B A Bx x y y M ++ 2222A B A B A B OM ABA B A B A B y y y y y y K K x x x x x x +--⋅=⋅=+--①又222222222222221A A B B A B A B x y x y x x y y a b a b a b --+==+⇒=- ∴22OM ABb k k a⋅=-（八）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被P 0所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x ya b a b+=+.证法1：由上题的结论得：2220022200AB OP AB y b x b b k k k x a a a y ⋅=-⇒=-⋅=-， ∴弦AB 方程为2220000000222220()b x yy xx y x y y x x y a b a b a-=--⇔+=+ 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x ya b a b +=+.证法2：设弦交椭圆于111(,)P x y ，222(,)Px y 中点(,)S m n .1202222220112212222222012()1()P P P S n y x y x y x x b mb k k m x a b a b y y a na -++==+⇒=-=-==-+∴2222222200002222x m y nm n m b mx b n a ny a a b a b-+=-⇒+=+即22002222x x y yx y a b a b+=+.（九）过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明：设两直线与椭圆交于点1122(,)(,)x y x y .2222220011222222221x y x y x y a b a b a b +=+=+= 21010210102202022020AB AC y y x xb k x x y y a y y x x bk x x y y a ⎧-+==-⋅⎪-+⎪⇒⎨-+⎪-=-=+⋅⎪-+⎩　①　②由题意得①＝②∴2102021020y y x x b x x y y a -+=⋅-+，2201022010y y x x b x x y y a -+=⋅-+ 展开222212020101220100222212010*********()()()()y y y y y y y a x x x x x x x b y y y y y y y a x x x x x x x b ⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+-⎪⎩　③　④ 220120122()2()a y y y b x x x -=-③－④得：20122120BC b x y y K x x a y -==-（定值） （十）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为2122||||1cos b PF PF γ=+；122tan 2F PF S b γ∆=。

证明：设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=.由余弦定理22222222cos 444()4m n mn c a b m n b γ+-⋅==-=+-，221222(1cos )||||1cos b b mn PF PF γγ=+⇒=+. 1222112sin sin ||221cos 2F PF P b S m n b tan c y γγγγ=⋅⋅=⋅⋅==⋅+△（十一） 若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tantan22a ca cαβ-=+. 证明：设1||PF m = ，2||PF n =，2m n a +=，122||2m n a aF F c c+== ①又122sincoscossin sin 222||sin()2sin cos cos 222m n F F αβαβαβαβαβαβαβαβ+--++===++++ coscos sin sin 1tan tan 222222coscossinsin1tantan222222αβαβαβαβαβαβ++==-- ②由①、②得：tantan22a c a cαβ-=+ （十二）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线1l ，斜率为1k-，其中垂线l 为0()y k x x =- 则22220222()a b x a b k ++<。

证明：设1l 方程为1y x m k=-+ 即x mk ky =-，中点为(,)x y ''得22222222222()20b k a y mb k y b k m a b +-+-= 22122222mb k y y a b k +=+ 22222mb k y a b k'=+ 20222ma kx mk my b k a '=-=+ ()y y k x x ''-=- 代入0(,0)x ，220222()mk a b x a b k +=+ 22222202222()()m k a b x a b k +=+ 又△＞022222a k b m k +⇒<，∴2220222()a b x a b k+<+注：还可以用点差法.（十三）已知椭圆22221x y a b +=（ a>b>0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │. 证明：设直线方程为y kx m =+,222222222222222()12()0x y x kx m k km m x x a b a b a b b b y kx mλλλ⎧+=+⎪⇒+=⇒+++-=⎨⎪=+⎩22221x y a b +=视作1λ=的特殊情况.弦中点坐标21222221221D km x x b x ka b +==-⋅+ 与λ无关.而D D y kx m =+ ∴(,)D D D x y 与λ无关.∴线段,AD BC 中点重合||||AB CD ⇒=.（十四）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. 证明：设A 为11(,)x y B 为22(,)x y2211221212121222222222221()()()()1D D x x x x x x y y y y a b a b x y a b x y k a b ⎧+=⎪-++-⎪⇒=-⎨⎪+=⎪⎩⇒=-⋅ ∴2221D o D D D o D y a b PD x x y k x x x k a --==-⇒=+=⋅-2222D D a b a b a x a x a a---><∴-<<（十五）已知椭圆方程为22221(0),x y a b a b +=>>两焦点分别为12,,F F 设焦点△12PF F ，1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+。