椭圆性质的证明与证明:
性质1、 椭圆上一点P 处的切线平分焦点三角形外角的证明：
题目：已知12,F F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，P 为椭圆上一点。

求证：点P 处的切线PT 必
平分12PF F ∆在P 处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理.
证法1 设1200(,0),(,0),(,)F c F c P x y -.
对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，22
22.0x y y a b '
+=
∴ 22b x
y a y
'=-
∴ 0020(,)
20
pT x y b x k k y a y '===-
又1010pF y k k x c ==
+，20
20pF y k k x c
==-， 由到角公式知
2002002
2002
200tan 211.
b x y
a y x c k k
b x y kk a y x c
----∠==
+-- 22222
000222
000
()
()b cx b x a y a b x y a cy -+=-- 222222
00222000000()()b cx a b b cx a b c x y a cy cy cx a cy --===
--， 同理200
22
0012
00
10
200
tan 111.y b x x c a y k k b y b x k k cy x c a y ++-∠===+-+. ∵ 1,2(0,)π∠∠∈， ∴ 12∠=∠， 又14∠=∠， ∴ 24∠=∠
证法2 设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y ，如图1，过1F 、2F 作切线PT 的垂线，垂足分别为M 、N. ∵ 切线PT 的方程为
00221x x y y
a b
+=，则点1F 、2F 到PT 的距离为
1F M =
，
2F N =
∴ 0
22
012
01021
1cx cx a F M a cx F N cx a a
----==-- 001002ex a a ex PF ex a a ex PF --+===-- ∴ 1PMF ∆∽2PNF ∆ ∴ 12∠=∠, 又∵14∠=∠ ∵ 24∠=∠.
两种证法都是由12∠=∠导出，如图，设PD 为法线（即PD ⊥切线PT ），则PD 平分12F PF ∠，故得如下重要定理.
定理 在椭圆上任意一点P 的法线，平分该点两条焦半径的夹角. （到角公式）
把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，叫做L1到L2的角，简称到角.tan θ=(k2-k1)/(1+k1·k2)
性质2．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为椭圆焦点三角形．
（2）面积公式推导
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
222
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r +--=22
1212
(2)242a rr c rr --=
2212124()22a c r r r r --=212
12
2b r r r r -=
∴2
1212cos 2rr b rr α=-
即21221cos b r r α
=+，
∴12
2
12112sin sin 221cos PF F b S r r ααα
∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α．
例1．焦点为12,F F 的椭圆22
14924x y +
=上有一点M ，若120MF MF ⋅= ，求12MF F ∆的面积． 解：∵120MF MF ⋅=
， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ∆=290tan
24tan
242
2
b α
︒
==． 例2．在椭圆的22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的一个端点，M
是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．
证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，
∵
210212121
21MF F F BF S y F F b F F S ∆∆=⋅>⋅=
， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>， 即1212tan tan 22F BF F MF
∠∠>， 又121211
,22
F BF F MF ∠∠都是锐角， 故121211
22
F BF F MF ∠>∠ 从而有1212F BF F MF ∠>∠．
图1
图2
性质3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．
（2）面积公式推导：
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r -+-=22
1212
(2)242a rr c r r +-=
2212122()r r c a r r --=
2
1212
2r r b
r r -=
∴2
1212cos 2rr rr b α=-
即2
1221cos b r r α
=-，
∴12
2
12112sin sin 221cos PF F b S r r ααα
∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．
例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，
1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小．
解：双曲线的标准方程为22
1916
x y -
=， ∴121212121211
sin 32sin 16sin 22
PF F S PF PF F PF F PF F PF ∆=
⋅∠=⨯∠=∠， 从而有1216sin F PF ∠1216cot 2F PF ∠==12
12
16sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=︒．
例4：椭圆22162
x y +
=与双曲线 2
213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．
图3
解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ∆面积 ∵122tan 1cot 22
PF F S α
α
∆==⨯，
∴2
1tan 2
2
α
=， ∴2
21
1tan 1122cos 13
1tan 122
α
αα--
=
==++
． 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆22
112211
1(0)x y a b a b +=>>和双曲线
22
222
222
1(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ∆的面积2121tan
2F PF S b ∠=，又2122cot 2
F PF
S b ∠=，从而22212S b b =⋅，即12S b b =⋅． 性质4：若000(,)P x y 在椭圆22
22
1x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 证明：设00(,)P x y .
对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，22
22.0x y y a b '
+=
∴ 22b x
y a y '=- ∴ 0020(,)20
pT x y b x k k y a y '===-
由点斜式：20
0020()b x y y x x a y -=--，又因为00(,)P x y 在22221x y a b +=上，所以2200221x y a b +=，整理即得：
00221x x y y
a b
+=。