成都七中高2019届高三二诊模拟考试数学（理科）试卷
一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.）
1.已知复数z 满足：2
(1)2z i i ⋅+=-，则||z 为( ) A ．52 B ．5 C ．2 D ．1 2．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，N ＝{x |0＜x ＜2}，则()U N C M ⋂＝( )．
A ．{x |－2≤x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |－1≤x ≤1}
D ．{x |x ＜1}
3.在()2n x x -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则=n ( )
A ．9
B ．8 C. 7 D ．6
4．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为
32
，则BC 的长为( )． A.32 B. 3 C ．2 3 D ．2 5．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数
f （x ）=x 2+2ax ﹣b 2+π有零点的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如果执行如图所示的程序框图，输出的S ＝110，则判断框内应填入的条
件是( )．
A ．k ＜10?
B ．k ≥11?
C ．k ≤10?
D ．k ＞11?
7.已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若12()()9g x g x ⋅=，则12||x x -的值可能为( )
A ．3π
B ．2
π C.34π D ．54π 8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →
＝( )． A.32
B. 3 C ．3 D ．2 3 9.给出下列说法：
①“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件； ②命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x
+>”. ③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种. 其中正确说法的个数为( )
A ．0
B ．1 C. 2 D ．3
10．某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积
之比为（ ）
A ．618π
B ．69π
C ．63π
D ．62π 11．设双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以OF 1（O 为坐标原点）为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知函数1
,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩
，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点
小于-4，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为 ．
14．已知实数x ，y 满足，若x ﹣y 的最大值为6，则实数m= ．
15.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为86π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为 ．
16.已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆22
(2)1x y -+=于点A ，B ，C ，D 四点，则||4||AB CD +的最小值为 ． 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在数列{}n a 中，11a =，11
n n n a a a +=+，设1n n b a =，*n N ∈ （Ⅰ）求证数列{}n b 是等差数列，并求通项公式n b ；
（Ⅱ）设12n n n c b -=⋅，且数列{}n c 的前n 项和n S ，若R λ∈，求使1n n S c λ-≤恒成立的λ的
取值范围.
18. 在万众创新的大经济背景下，某成都青年面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.求X 的分布列及其数学期望. 相关公式：∑∑==---=n
i i
n i i i
x x y y x x b 121
^)())((∑∑==--=n i i
n i i i x n x y x n y x 1221 ， x b y a ^^-= 19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，
AA 1=A 1C=AC ，AB=BC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别为AC ，B 1C 1的中点．
（1）求证：直线EF ∥平面ABB 1A 1；
（2）求二面角A 1﹣BC ﹣B 1的余弦值．
20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，点P 为椭圆C 上任意一点，且|PF |的最小值为﹣1，离心率为。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若动直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且∠OFA +∠OFB=180°．
（ⅰ）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；
（ⅱ）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总经过此定点？
若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数()2ln 2f x x x x =+，()(1)g x a x =-（a 为常数，且a R ∈）.
（1）若当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个交点，试确定自然数n 的值，使得(),1a n n ∈+（参考数值32 4.48,ln 20.69,
e ≈≈ln 3 1.10,ln 7 1.95≈≈） （2）当3x >时，证明：4(3)()ln(2)x
f x x ->-（其中e 为自然对数的底数）。

请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请标明题号。

22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,1,x t y t =⎧⎨=+⎩
（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos ,2sin ,
x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线1:OP θα=（其中02π
α<<）与曲线C 交于O ，P 两点，射线2:2OQ π
θα=+
与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长||OP .
23.已知
，，，设函数， Ⅰ若
，求不等式的解集； Ⅱ若函数的最小值为1，证明：。