2018届2017~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,则复数61ii-的虚部为.3A.3B - .3C i.4D i -2.已知全集U =R ,集合{|30}A x x =-<,1{|2}.4x B x =>那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<<.{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B3.2C.3D4.若1sin()3πα-=,2παπ≤≤,则sin 2α的值为42.9A -22.9B -22.9C42.9D 5.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为.2A 3.2B 5.3C 8.5D 6. 一个底面为正方形的四棱锥,其三视图如图所示,若这个四棱锥的体积为2 ,则此四棱锥最长的侧棱长为.23A .11B .13C .10D7.等比数列{}n a 中,20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=,若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,则(2018)f = A. B. C.D .9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上,23B π∠=若,则的离心率为A.B.C.D.10.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =⋅-+,将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移2π个单位后得到函数()g x ,在区间[0,]π上随机取一个数x ,则()1g x ≥的概率为1.3A1.4B1.5C1.2D 11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有①y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个 12、已知向量满足,若,的最大值和最小值分别为,则等于A. B.2 C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、若1()n x x-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为 .14、已知数列{}na 的各项都为正数,前n 项和为n S ,若2{log }n a 是公差为1的等差数列,且5=62S ,则2=a15.已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16.为抛物线上一点,且在第一象限,过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)如图,,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ,,的对边,sin cos =2b A a B a +,4sin 5BAC ∠=. (1)求sin C 的值;(2)若点D 在边BC 上,3BD CD =,ABC ∆的面积为14,求AD 的长度.18. (本小题满分12分)2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》,某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科,每个考生,英语,语文,数学三科为必考科目,并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考,物理、化学、生物为自然科学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率; (2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目,若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立,用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数,求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF 中,矩形BDEF 所在平面与正方形ABC D 所在平面垂直,点M 为AE 的中点. (1)求证:BM //平面EFC(2)若DE AB =,求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值.20、(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆2212:7O x y +=相切,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点(A 在x 轴上方),交x 轴正半轴于P 点,若3PB PA +=0,求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.(本小题满分12分) 已知a ∈R ,()(1)ln f x ax x =-(1)若2()ln f x x x x ≤--恒成立,求a 的值; (2)若()f x 有两个极值点,,求a 的范围并证明1()4f x >.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点的直线的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数), 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (2)若2PA PB AB⋅=,求a 的值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|32|f x x =+.(1)解不等式()4|1|f x x <--(2)若0a >,不等式||()4x a f x --≤恒成立,求实数a 的取值范围.石室中学高2018届2017-2018学年下期二诊模拟考试数学参考答案(理科)一、选择题13.20-;14. 4;15. 16.三、解答题17. 解:(1,因B 为锐角,所以分,分(2分分,由余弦定理,2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅,解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ,分(2)随机变量X 的所有可能取值有0,1,2,3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知BDEF ABCD ⊥面面,而BD ED ⊥,BDEF ABCD=BD 面面∩,DE BDEF ⊂面 所以DE ABCD 面⊥,以DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AD=1,则()1,1,0B ,,()0,0,1E ,()1,1,1F ,()0,1,0C ,所以,1,1,2MB ⎛= 而面EFC 的法向量为()1,1,1m =-,则0MB m ⋅=即MB m ⊥,又面MB EFC ⊄,所以//面MB EFC ;……………6分(2)由(1)知1,1,MB ⎛= ,1,0,DM ⎛= 所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =-又()1,0,1AE =-,6,3n AE=所以直线AE 与面BDM 12分20.解: (1)设切线为0bx ay ab +-=,则,解得224,3a b ==,所以椭圆C 的方程分(2)设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>,联立 得222(34)63120m y mny n +++-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,②由0∆>,可得22340m n -+> (6)分又因为3PB PA +=0,可得123y y -=③…………7分分分当且仅当13103,32m m n m ===即,时,满足0∆>, 所以AOB ∆面积的最大值为3,此时直线l 的方程为31032x y =+………12分21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:,,…………………1分 所以F ,且.所以当时恒成立,此时在上单调递增,(0,1),()0x F x ∴∈<这与F 矛盾;………………………………..3分当 时令,解得,所以在上单调递减,在 上单调递增,即 ,又因为,又F(1)=0 所以………………………..6分(2)1'()ln f x a x a x =+-21''()(0)ax f x x x+=> ①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…②若0a <时, 知:'()f x 在1(0,)a-单调递增,在1(,)a-+∞单调递减只需要22111'()ln()20f a a e a e aaa--=-+>∴-<∴<-………………….9分此时知道:()f x 在1(0,)x 单减,12(,)x x 单增,2(,)x +∞单减 且易知:1210x x a<<-<1111111'()0ln 0ln 1f x a x a x x ax =⇒+-=∴=- 111111111()(1)ln (1)(1)2f x ax x ax ax ax ax ∴=-=--=--又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. (1)不等式.当,,解之得;当时,,解之得;当时,,无解.综上,不等式的解集为.…………………… 5分(2)令,则当时,.欲使不等式恒成立,只需,即.又因为,所以,即…………………………….10分。