P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率，远大于0.05
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内容
• 方差分析基本概念 • 单因素方差分析 • 单因素方差分析—均数的多重比较 • 双因素方差分析(1): 无交互作用方差分析 • 附录：均数的多重比较—几种常用方法
P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率，远大于0.05
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单因素方差分析--均数的多重比较
Bofferoni 校正法 (Bofferoni Correction)
在均值的多重检验中，设犯Ⅰ类错误的总概率为
生物统计学
第6讲 实验设计与方差分析(1)
2014.10
1
引言
对于 H0: μ1= μ2 vs. HA: μ1≠μ2 可采用两独立样本 t 检验
如果需要检验多个总体均值是否存在显著性差异, 需采用
什么方法？
若考虑仍采用两独立样本t 检验
在只有3个总体的情况下，将样本两两配对，需做3次独立 样本t 检验
方差分析应用条件 1. 各样本是相互独立的随机样本(变异的可加性) ； 2. 各样本来自正态总体； 3. 各处理组总体方差相等，即方差齐性或齐同 （homogeneity of variance）。 上述条件与两均数比较的 t 检验的应用条件相类似。 当组数为2时，方差分析与两均数比较的t检验是等价 的
MSB

SSB B
νW = N – a νB = a – 1
MS: 均方差 (Mean Square, MS)
19
单因素方差分析
F值越大，越说明总的方差波动中，组间方差是主 要部分，待检验因素的影响越显著，有利于拒绝原假设 接受备选假设；
反之，F值越小，越说明随机方差是主要的方差来 源，说明待检验的因素对总体波动没有显著影响，有利 于接受原假设。
μ１与μ２不相等 28
单因素方差分析--均数的多重比较
2. John Hopkins (中心1) 及 St. Louis (中心3)
t
13

x1 x3
1.64
MSW（
1 n1

1 n3
）
df=60-3=57
p=0.107>0.033,在0.033显著性水平接受零假设H0: μ1 = μ3
3. Rancho Los Amigos (中心2)及St. Louis (中心3)
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单因素方差分析
三种变异之间的关系
SST= SSB + SSW
自由度νT= νB+ νW
νB = a – 1,
νw = (n1-1)+ (n2-1) …+(na-1)
=N–a νT = N-1
a
N ni i 1
单因素方差分析
问题： 每组样本均数与全总体均数间的差异，以及每组组内 所有观测值与该组均数的差异，是否第一个差异要比 第二个差异大？
(John Hopkins, Rancho Los Amigos 以及 St. Louis) 分别
抽取了21名、16名及23名病人, 测其FEV1指标，相关数
据见下页
21
22
单因素方差分析
H0: 1 =2 = 3 vs H A: 1, 2 , 3 不全等
MSB n1
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某 一水平组合。例如进行三个品牌的某化学药物在3个剂量水平上对 收缩压降低水平的两因素试验，整个试验共有3×3=9个水平组 合，实施在试验单位(高血压患者)上的具体项目就是某品牌降压药 物与某种剂量的结合。所以，在多因素试验时，试验因素的所有 水平组合就是一个处理组合。
如果如上述所说，则组间总体均值间的差异要高过组内观测值 间的差异(个体差异)，也就表明，每组总体均值不全相等。
17
18
3
单因素方差分析
H0:μ１= μ2 = … = μα vs. 全相等
检验统计量
F

MSB MSW
HA: μ１, μ2 , … , μα 不 F ~F(α-1, N-α)
MSW

SSW W
Bonferroni 校正的适用性 • 当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好。 • 但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于 其检验水准选择得过低，结论偏于保守。
27
单因素方差分析--均数的多重比较
例2. 还是采用例1中三家医学中心冠状动脉患者FEV1的例子, 对三个总体进行两两 t 检验
试验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
7
方差分析—常用术语
2. 因素水平(level of factor) 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因
素水平，简称水平。 比如临床试验中, 研究某一降血压药物三种不同剂
量降低收缩压的效果, 三种剂量就是收缩压降低水平 这个试验因素的三个水平
8
方差分析—常用术语
13
14
单因素方差分析
三种不同的变异
1. 总变异 (Total variation)：全部测量值 xij与总均数 x.. 的
差异
SST

a i 1
ni
( xij
j 1
x..)2

a i 1
ni
xi2j
j 1
x2 N
2. 组间变异 (between group variation)：各组的均数 xi 与
单个比较的显著性水平:
*

a

2
统计量
t
xi x j
MSW（
1 ni

1 nj
）
自由度 N a
a
ni 1 si2
原因：共有N个观测值参加计算
MSW

i 1 a
ni a
i 1
请注意： a [ei] (alpha)
用去了a个统计量
26
单因素方差分析--均数的多重比较
3. 试验处理(treatment)
事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验处理。
在单因素试验中, 实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的 某一水平。比如临床试验中, 研究三个品牌的某化学药物降低收缩 压的效果, 三个品牌就是收缩压降低水平这个试验因素的三个水平。 单因素试验时, 试验因素的一个水平就是一个处理。
t23
x2 x3
0.91
MSW（
1 n2

1） n3
df=60-3=57
p=0.367>0.033,在0.033显著性水平接受零假设接受零假设H0: μ2= μ3
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双因素方差分析
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a 个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平，记 作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
and Interaction)
6
1
方差分析—常用术语
1.试验因素(Experimental Factor): 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。方
差分析的目的就是分析因子对实验或抽样的结果有无显 著影响。
当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验， 比如研究一种药物对某疾病的疗效；
若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响 时，则称为两因素或多因素试验，比如同时研究两种或 两种以上的药物对某疾病的疗效。

)2
i 1 j 1
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单因素方差分析
变异与离差平方和的关系
xij x xi x xij xi
某一观测值与 总均值的差异
组间差异
组内差异 实验误差eij残差估计值
取平方后对i,j求和
交叉项对i,j求和后均为0
SST = SSB + SSW eij xij xˆij , xˆij xi
检验的拒绝域安排在右侧。
20
单因素方差分析
单因素方差分析
例1. 为研究一氧化碳摄入对冠状动脉疾病患者的影响，研
究时需考虑的一项指征是患者的肺功能，以第一秒用力呼 气容积 (FEV1) 作为研究指标, 如果来自某一医学中心的患
者FEV1水平比其他中心的患者FEV1水平高(或低), 则说明
分析结果受肺功能这一因素的影响，研究者从三家医院
总均数 x.. 间的差异
SSB

a
n i (xi
i i2 ni

x2 N
3. 组内变异（within group variation )：每组的每个测量值
xij与该组均数 xi 的差异
a ni
SSW SST SSB
( xij

x i
如果有10个样本总体呢？
需做独立样本t检验的次数：120


45
次
2
引言
常规 t 检验在多重比较中的局限 对三个总体两两t检验, 在0.05水平,3次检验都不拒绝H0的 概率为
P(fail to reject in all three tests)=(1-0.05)3 = 0.953 = 0.857 那么，3次检验至少拒绝一次检验的概率
x1 x 2 n2
x2 x 2 n3 31
x3 x 2 0.769L2
MSW

n1 1 s12 n2 1 s22 n3