圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1. 定义法求标准方程：(1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处理)1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1F2|是线段】2. 设B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为)x2 y2 y2 x2A.25+ -9 = i y z0)B.25^9 = 1 徉0)x2 y2 y2 x2C.^+16= 1 y z 0) D£+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为)A. 双曲线或一条直线B. 双曲线或两条直线C. 双曲线一支或一条直线D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】4. 已知两定点F1 - 3,0) ,F2 3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是)A.||PF1|-|PF2|| = 5B.||PF1|-|PF2|| = 6C.||PF1|-|PF2|| = 7D.||PF1|线】-|PF2|| = 0 【注：2a<|F1 F2| 是双曲5. 平面内有两个定点F1 - 5,0)和F2 5,0)，动点P满足|PF1| - |PF2| = 6,则动点P的轨迹方程是)线的一支】6. 如图，P为圆B: x + 2)2 + y2 = 36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q求点Q的轨迹方程.7. 已知点A(0 , '3)和圆01: x2 + (y + 1；3)2 = 16,点M在圆01上运动，点PA.X6- y2= 1(x W—4)16 9 >x2 y2B・6-碁1x< —3)x2 y2C扁-6 = 1x> 4)x2 y2DE -荷3)【注：双曲在半径O1M上，且|PM| = |PA|，求动点P的轨迹方程.(2)涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8. 已知圆A：x + 3)2 + y2 = 100,圆A内一定点B3, 0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.已知动圆M过定点B -4,0)，且和定圆x-4)2 + y2 = 16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为)x2 y2 x2 y2A 才-护1 x>0) B.- -12= 1 x<0)C.X2-;|= 1D.y2- X2= 1 【注：由题目判断是双曲线的一支还4 12 4 12是两支】9. 若动圆P过点N —2,0)，且与另一圆M x- 2)2 + y2 = 8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10. 如图，已知定圆F1：x2 + y2 + 10x + 24= 0,定圆F2：x2 + y2 - 10x + 9= 0, 动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.11. 若动圆与圆x- 2)2 + y2= 1相外切，又与直线x + 1 = 0相切，则动圆圆心的轨迹是)A.椭圆B. 双曲线C.双曲线的一支D. 抛物线12. 已知动圆M经过点A 3,0），且与直线I : x =-3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】"1 、113. 已知点A3,2），点M到F2，0的距离比它到y轴的距离大仓（M的横坐标非负）1）求点M的轨迹方程；【注：体现抛物线定义的灵活应用】2）是否存在M使|MA| + |MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14. 已知A, B两地相距2 000 m在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15. 如图所示，在正方体ABC—A1B1C1D中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P 到直线BC 与到直线C1D1的距离相等，贝V动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线2. 涉及到曲线上的点到焦点距离的问题:离为1,则椭圆的离心率为（ ）17. 椭圆x|+ y 2 = 1的左右焦点为F1, F2, 一直线过F1交椭圆于A 、B 两点，则 △ ABF2的周长为（ ）A. 32B. 16C . 8D . 4 18. 已知双曲线的方程为a2-b2= 1点A ，B 在双曲线的右支上，线段 双曲线的右焦点F2, |AB| = m F1为另一焦点，则△ ABF1的周长为（B . 4a + 2mC . a + mD . 2a+ 4m19. 若双曲线x2 — 4y2= 4的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线交右支于 A 、 B 两点，若|AB| = 5,则厶AF1B 的周长为 __________ . 20.设F1、F2是椭圆X6+卷=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点 的距离之差为2,则厶PF1F2是（ ）A.钝角三角形 B .锐角三角形C .斜三角形D .直角C . 双曲线【注：体现抛物线定义的灵活应用】x 216设椭圆冠+ y2m2- 1 1 （m>1）上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距 B.C.AB 经过 ）A. 2a + 2m三角形21. ______ 椭圆X2+ y2= 1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1| = 4，则|PF2| = __________ ，/ F1PF2的大小为________ .【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c，最大是a+c]22•已知P是双曲线6|- 3|= 1上一点，F1, F2是双曲线的两个焦点，若|PF1| =17,则|PF2|的值为 _________________ .【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a ]23. 已知双曲线的方程是X| —y2- = 1,点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1 的距离为10 ,点N是PF1的中点，求|ON|的大小O为坐标原点）.【注：O是两焦点的中点，注意中位线的体现]24. 设F1、F2分别是双曲线X2—y2= 1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且5 4PF1 • PF2 = 0，则| PF1 + PF2 | 等于（）A. 3 B. 6 C. 1 D . 225. 已知点P是抛物线y2 = 2x上的一个动点，则点P到点0,2）的距离与点P到\[17该抛物线准线的距离之和的最小值是）A. B.3D.2【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离] 26. 已知抛物线y2 = 4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x —4y+ 9= 0的距离为d2,则d1 + d2的最小值是（）A. 飞C. 2D.【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27. 设点A为抛物线y2 = 4x上一点，点B（1,0），且|AB| = 1,则A的横坐标的值为（）A.—2 B . 0 C . - 2 或0 D . - 2 或2【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3. 焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长=PF1+ PF2+ 2C= 2a 2c椭圆的焦点三角形面积：：2 2』PFi| ^PF2〔-2PF I||PF2C OS H=4C2 （1）J PF」呷PF』=2a （2）2（2）2-（i）得2PF i PF2（1.cos 令=4a2-4c2PF i PF^^2^2S舟1F2 =! I PF 1 PF 2 sin 日=2sin 日=b2tan ㊁推导过程：2bS^F’F2 - 甘双曲线的焦点三角形面积：328. 设P为椭圆100+ 6f= 1上一点，F1、F2是其焦点，若/ F1PF2=n^，求△ F1PF2 的面积.2 o【注：小题中可以直接套用公式。

S=b tan 15】29. 已知双曲线曽-1|= 1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得B./ F1PF2= 60°，求△ F1PF2 的面积.【注：小题中可以直接套用公式。

】30. 已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2, F1, F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且/ F1PF2= 60°，S A PF1F2= 12 '3，求双曲线的标准方程.31.已知点P(3,4)是椭圆at+bh 1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1丄PF2,试求:(1)椭圆的方程；⑵△ PF1F2的面积.二、圆锥曲线的标准方程:1. 对方程的理解32. 方程严 +壬 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是|a| —1 a+ 3( )A. ( —3, —1) B . ( —3, —2) C . (1 , +~)D. ( —3,1)33. 若k>1，则关于x, y的方程1 —k)x2 + y2 = k2 —1所表示的曲线是)A.焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线【注：先化为标准方程形式】34. 对于曲线C: 给出下面四个命题:① 曲线C 不可能表示椭圆； ② 当1<k<4时，曲线C 表示椭圆； ③ 若曲线C 表示双曲线，则k<1或k>4; ④ 若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k<2.35. 已知椭圆 x2sin a- y2cos a = 1 (0 <a <2n )的焦点在36. 双曲线x m - m -5 =1的一个焦点到中心的距离为3,求m 的值.【注: 要根据焦点位置分情况讨论】2. 求曲线方程（已经性质求方程）37. 以x2—y|=—i 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ 38. 根据下列条件，求椭圆的标准方程.（1）两个焦点的坐标分别是（一4,0） ,（4,0），椭圆上任意一点P 到两焦点的 距离之和等于10;y 轴上，则a 的3nA.,n)B. <4，n 3 "D. ---- 一7 n.243 、/ X-nC. C ，兀4丿2，x2 y2A. + = 116 12y2彳 =1B .吕+y|= 112 16C .令 y2 = 116 4D.x2 7+取值范围是（39. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ¥，且过点P(- 5,4)，5 则椭圆的方程为 ________________40. 中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等 分，则此椭圆的方程是( )41. 设椭圆m + n|= 1 (m>0 , n>0)的右焦点与抛物线y2 = 8x 的焦点相同，离心 1率为2,则此椭圆的方程为()42. 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(- 占,0)，且右顶点为D(2,0).设点A 的坐标是；1, 2 .(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点M 的轨迹方程.【注：相关点 法求曲线方程】43.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的-2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()(2)两个焦点的坐标分别是 【注：定义的应用】(0，- 2) , (0,2)，并且椭圆经过点A.X 2+ 71= 1B.81 72x2 , y2 81 9C.x 2+y2=1 81 45+y2 81 36A. x2 y2_ 16=B.x 2+y 2=116 12C.色+y 2=148 64D.x 2 + 里=1 64 483 5、45. 求与双曲线x|—罟=1有公共焦点，且过点（3寸2, 2）的双曲线方程46. 双曲线C 与椭圆曽+ y2= 1有相同的焦点，直线 y = 3x 为C 的一条渐近 线.求双曲线C 的方程.47. 根据下列条件写出抛物线的标准方程: 1）经过点一3, — 1）;2）焦点为直线3x — 4y — 12 = 0与坐标轴的交点48. __________________ 抛物线y2= 2px p>0）上一点M 的纵坐标为—4 2 这点到准线的距离为6, 则抛物线方程为 . 【注：定义的应用，焦半径】三、圆锥曲线的性质:x2 y2=4 —B.y2 x2N - = = 1C.y2 x2 ~4—~8D.x2 y2 ~8—~444. 已知双曲线 三一b2= 1（a>0 , b>0）的一条渐近线方程是 y = 3x ，它的一个 焦点在抛物线y2 = 24x 的准线上，则双曲线的方程为（）x2 y2A —— --- = 1 36 108 =1B.x2 "9C.籀-36= 1D.x2 y2 27 91.已知方程求性质： 49.椭圆2x2+ 3y2= 1的焦点坐标是（ ）2.求离心率的取值或取值范围52. ____________________ 直线x + 2y - 2= 0经过椭圆 篦+誇=1 （a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则 该椭圆的离心率等于 .53. 以等腰直角△ ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为54. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率 是（）【注：寻找a,b,c 的等量关系，遇b 换成a 、c ,整理成关于a 、c 的方程】 55. 椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为 A ,且三角形F1AF2是顶角为a[1、 a 'r 1〕 A. 2, 0丿B.2a jC.凶0丿D., 4』则抛物线y = ax2 的焦点坐标为（)【注：先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】A. ；0, 土 /【注：焦点位置】B . (0，土 1) C• ( ± 1,0) D.50. 椭圆25x2 + 9y2 = 225的长轴长、短轴长、 离心率依次是 （4A. 5,3 , 54B • 10,6，53• 5,3 , 53• 10,6 , 551.设 a z 0, a € R4 A.5B. C. D.120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为56. 设椭圆a|+ b 2= 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,线段F1F2被点号，0 分成3 ：1的两段，则此椭圆的离心率为 _________ .57. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4 , - 2)，贝V 它的离心率为()A. 6B.;，5 C.-26D.58. 双曲线刍-密=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是)a2 b259. 已知双曲线a2-b2= 1 (a>0 , b>0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )A. (1,2] B • (1,2) C. [2 ,+x )D. (2 ,+心四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：60. 已知抛物线的方程为y2= 4x ,直线I 过定点P - 2,1)，斜率为k.k 为何值 时，直线l 与抛物线y2 = 4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【注：双曲线和抛物线中，都有相交只有一个交点的情况，这是二次项系数为A.2B. EC.3 D.20的时候，因此相离、相切、相交有两个交点，需要用/判断时，必须要加上 二次项系数不为0的条件】61. 已知抛物线 y = 4x2上一点到直线 y = 4x - 5的距离最短，则该点坐标为）2.弦长公式的应用：x262. 已知斜率为1的直线I 过椭圆—+ y2 = 1的右焦点F 交椭圆于A B 两点， 求弦AB 的长.63. 直线y = kx - 2交抛物线y2 = 8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于 2,求弦AB 的长.64. 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y = 2x + 1截得的弦长为"15, 求抛物线的方程.x2 y2 \[6 一65. 已知椭圆C:二+不=1 a>b>0）的离心率为二■，短轴一个端点到右焦点的a2 b2 3 距离为3.1） 求椭圆C 的方程；2） 设直线I 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点0到直线I 的距离为石1求厶AOB 面积的最大值66. 已知过抛物线y2 = 2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A B 两点，且|AB| =A. 1,2)B.(0,0)C. 2*D. 1,4)|p，求AB所在的直线方程.2、弦的中点问题:67. ________________ 椭圆E：X|+甞=1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 .68•点P(8,1)平分双曲线x2-4y2 = 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是【注：双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验/ >0】69. 若直线y= kx-2与抛物线y2 = 8x交于A, B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2,则k等于()A. 2 或—1 B . - 1C. 2 D . 1±5【注：涉及弦的中点问题，可以使用点差法，但仍需要注意带回检验/ >0】70. 已知抛物线y2 = 6x,过点P4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.4、韦达定理的应用：(综合题型)71. 已知直线y = ax + 1与双曲线3x2 -y2 = 1交于A, B两点.(1) 求a的取值范围；(2) 若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值.72. 如图所示，0为坐标原点，过点P(2, 0)且斜率为k的直线I交抛物线y2 = 2x 于M(x1, y1) , N(x2, y2)两点.(1)求x1x2 与y1y2 的值；(2)求证：OMLON.73. 已知F1、F2为椭圆x2 + y2 = 1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ ABF2面积的最大值.【注：这是个焦点落在y轴的椭圆，以F1F2为底边，将三角形分成上下两部分，而高就是AB点横向的距离，即|xA - xB| 】74. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线1 2 5y = 4x2的焦点，离心率为-5-.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线I交椭圆C于A, B两点，交y轴于点M若T T t —4MA = m FA , MB = n FB，求m^ n 的值.。