圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b ya x （0ab >>）,焦点在y轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b ax 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标．(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式．(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2.6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题(1)通法．联立方程利用根与系数的关系(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率．点差法的步骤：①将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程．②作差消去常数项后分解因式得到关于x1＋x2，x1－x2，y1＋y2，y1－y2的关系式．③应用斜率公式及中点坐标公式求解．特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！6．求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x1，y1的方程，再根据x1，y1与x，y的关系求出P(x，y)的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；(5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.7.常见类型转化：①“以弦AB为直径的圆过点0”⇔OA OB⊥⇔121K K•=-（提醒：需讨论K是否存在）⇔0OA OB•=⇔1212x x y y+=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“钝角、直角、锐角问题”⇔“向量的数量积小于、等于、大于0问题”⇔1212x x y y+<0；1212x x y y+=0;1212x x y y+>0③“等角、角平分、角互补问题”⇔斜率关系（12K K+=或12K K=）；例如：EF平分AEB∠⇔0AE BEK K+=一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用例1. (1)如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（）A.x 225 +y 216=1B.x 225 －y 216 =1C.(x+3)225 + y 216=1D.(x+3)225- y 216 =1 解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 225 +y 216=1.所以选A(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC→＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由已知得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 而|FA |＝x 1－(－1)＝x 1＋1， |FB |＝x 2－(－1)＝x 2＋1， |FC |＝x 3－(－1)＝x 3＋1， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝(x 1＋x 2＋x 3)＋3＝3＋3＝6.例2.(1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5](2)函数y ＝3－34x 2的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．（3）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A 2 （B 3 （C ）312 （D ）512（4）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）w_w_w.k*s 5*u.c o*m （A ）20,⎛⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 222222251(0,0)-,0)(0)91,(),2x y a a b F c c x y a b E FE OE OF OP -=>>>+=∈=+（）过双曲线的左焦点（作圆的切线，切点为直线交双曲线右支于点P ，若则双曲线的离心率为（）A.17 17 10 5 (6)一只双曲线2212221(0,0),.x y a b F F a b -=>>的左右焦点分别为O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I,且圆I 与x 轴相切与点A,过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率3,则( )A.3OB OA =B.3OA OB =C.OA OB =D.OA OB 与关系不确定[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x ，应在两渐近线之间，所以有b a≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2，选B.(2)函数y ＝3－34x 2可变为x 24＋y 23＝1(y ≥0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为3，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为33.（3）【解析】选 D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=， 即e 2-e -1=0,所以15e +=或15e -=（舍去） （4）解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA |＝22a b c c c-= w_w_w.k*s 5*u.c o*m|PF |∈[a －c ,a ＋c ]于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2 （5）答案：B(6) 答案：C解析：依题意设内切圆与1212PF ,PF ,F F 的切点分别为M,N,A.122,PF PF a -=且1122,,,PM PN FM F A F N F A ===12122PF PF F A F A a ∴-=-=。

设A 的横坐标为x ，可得c+x-(c -x )=2a,即x=a,所以OA a =； 延长21,F B PF Q 交于则B 为2F Q 中点，O 为12F F 的中点，又因为1212,PF PF FQ a -==,OB a OA OB ∴=∴= 三、直线与圆锥曲线的位置关系例3 .过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B.2 C.322 D ．22变式题 过抛物线y 2＝2px 焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．不确定D ．钝角三角形例3[答案] C[解析] 如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)．易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－22，故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得||BF ＝12－()－1＝32，||AB ＝||AF ＋||BF ＝3＋32＝92. 又因为点O 到直线AB 的距离为d ＝223，所以S △AOB ＝12×92×223＝322.变式题 [答案] D[解析] 设点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2<0，所以∠AOB 为钝角，故△OAB 一定为钝角三角形．五、圆锥曲线背景下的定点问题[例5](2012年·福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8. 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*) 所以P (－4k m ，3m)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4，4k ＋m ) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1，0)，则0MP MQ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP =(－4k m －x 1，3m)，MQ =(4－x 1，4k ＋m )，由0MP MQ ⋅=，得－16k m ＋4kx 1m－4x 1＋x 21＋12km＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0. (* *)由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 跟踪练习22221(0)(10),-1217QB 16x y C a b F a b l x QA +=>>•=-已知椭圆：的右焦点，且点（，（）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线过点F,且与椭圆C 交于A,B 两点，试问轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）由题意知，c=1根据椭圆定义得，22a a ==即所以2211b =-=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）假设在x 轴上存在定点Q （m,0）,使得716QA QB •=-恒成立。