一.选择题1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对二.填空题6.满足等式12015111+)(1)2015x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则22222()()()ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。

若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+ 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ∆=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ∃，使得i a <1##Answer##1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2z =(z+x)(z+y) (1+2x )(1+2y )(1+2z )=2[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数 检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y =−3,z=8.选A2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。

故选D ．3.令t=cosx ，令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩作图象知最大值为1，选A4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432555+++5+1),432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，则7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=2cos θ，如图0≤θ≤∠AOB ⇒1≥cos θ≥cos ∠AOB=||||OA OB OA OB ⋅=45⇒1625≤2cos θ≤1。

填4125 8.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它可以由y=2x ,x ∈[-2,2]平移得到，y=2x 最值之差为4，根据|2x +px+q|≤2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有232424p q p ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=±⎪⎩⇒67p q =⎧⎨=-⎩；同理67p q =-⎧⎨=⎩不超过它的最大整数为9.填99.x+y+z=1⇔222222222()()()2c a b c b a c b a b c a abc +-++-++-= 32223232()(2)0a b c a b c bc a c bc b b c ⇔-+-+-+-+-=3222()()()(b c)0a b c a b c a b c ⇔-+--+-+=⇔22[()]()()0a a b c b c a b c -+----=⇔(a -b-c)(a -b+c)(a +b-c)=0不妨设a ≤b ≤c ，则c=a +b ，于是x=222()2b c c b bc+--=1，同理y=1,z=-1，于是201520152015x y z ++=1，填1 10.每个元素当做一个子集，就满足要求；填911.设数列{n a }的公比为q,由已知12a a +=251q ->0,则56a a +=(12a a +)4q =4251q q -210q t -=>设25(1)t t +=5(t+1t+2)≥5×，等号成立当且仅当t=1t⇔t=1⇔故56a a +的最小值为20 12.(方法一)设f (x)=m 2x +nx+t(m ≠0), a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))公比为q(q>0)则22222223()(())()()()((()))()(()f a ma na t aq f f a f aq m aq n aq t aq f f f a f aq m aq n aq t aq ⎧=++=⎪==++=⎨⎪==++=⎩①②) ③①-②并化简得到：m a (1-2q )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到：m a q(1-2q )+n(1-q)=q(1-q) 从而q=1,f (a )=a(方法二)由已知()f a a =(())()f f a f a =((()))(())f f f a f f a ，假设f (a )≠a 则(())()()f f a f a f a a --=((()))(())(())-()f f f a f f a f f a f a -⇒A(a ,f(a )),B(f (a ),f (f (a )),C(f (f (a)),f (f (f (a ))))，AB k =BC k ⇒A,B,C 三点共线⇒一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f (a )=a13.证明：设正方形的边长为x ，△ABC 外接圆半径为R ，当内接正方形如图所示时 ccsinBa x x Q P NM CB A11sin sin c B x x c B a -=⇒1x =sin sin ac Ba c B +=22bac R b a c R+=2abc Ra bc+同理其他情况，内接正方形的边长分别为2x =2abc Rb ac +，3x =2abcRc ba +1x -2x =2abc Ra bc +-2abc Rb ac +=()(2)(2)(2)abca b c R Ra bc Rb ac --++<0⇒1x <2x , 同理1x <1x于是1x 最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B +14.证明：设2θ为12,l l 的夹角，以O 为原点，12,l l 的角平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图设X(x,y),|OA|=a ,|OB|=b ，则A(a cos θ,a sin θ),B(bcos θ,-bsin θ)cos 2sin 2a b x a b y θθ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，于是22x y -=a b 因AOB S ∆=12a bsin2θ=c,于是a b=2sin 2c θ，X 的轨迹方程为22x y -=2sin 2c θ,轨迹是双曲线 15.(反证法)假设i ∀，i a ≥1，设i a =1+i b (i b ≥0), 1210...a a a +++=30⇒1210...b b b +++=20 1210...a a a =1210(1)(1)...(1)b b b +++=1+(1210...b b b +++)+1213b b b b ++…≥21与1210...a a a <21矛盾 故i a ∃，使得i a <1。