一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则—— 谢国芳 Email: roixie@【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。

【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法1 一般三次方程的简化对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程320b c dx x x a a a+++=, 然后作变量代换3bx y a =-,（1） 可消去二次项，将它化为下面的形式：30y py q ++=, （2） 其中2233b ac p a -=-, 323922727abc b a dq a --=-.（3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1]2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式在方程（2）中作变量代换[2]y z =, （4） 利用三倍角公式3cos34cos 3cos z z z =-,方程（2）即化为cos3z =, （5）定义参数χ=, （6）称之为三次方程30y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即cos3z χ=. （7）当χ为实数且1χ≤时，令1cos θχ-=，可得其一般解为32z n θπ=±+, 即 233n z θπ=±+()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值：22, , 33333z θθπθπ=±±+±-但cos z 只取下面这三个值：22cos cos , cos(), cos()33333z θθπθπ=+-代入式（4），即得方程30y py q ++=的三个根：12332cos()332)33y y y θθπθπ⎧=⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩（8） 其中1cos θχ-=, χ=(, 1)c c 危.当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解.根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：cos 2iz ize e z -+=, （9）方程（7）等价于332iz ize e χ-+=, 它可以化为一个以3iz e 为元的二次方程：323()2()10iz iz e e χ-+=,解得3iz e χ=±（10）定义参数 W χ=+ （11）注意到恒等式( 1χχ-+=, （12）由式（10）可解得ize =或代入式（9），再由式（4）即得方程30y py q ++=的根为y =+, （13） 其中W χ=+,χ=. （14）三个值正好对应于方程的三个根. [3]3 简约三次方程的另一个求根公式定义参数λ （15）亦称之为三次方程30y py q ++=的关键比，对比关键比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）= （16）则i χλ=, 于是(W i i i χλλλ=+=+=+=+定义参数Z λ=+, 则W iZ =, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）/6i e π=,代入求根公式（13）可得/2/6/62/3( i i i i y e e e e ππππ-===-因为2/3i e π乘以的三个值，所以上式即y =, （17） 其中Z λ=+,l =（18）的三个值亦正好对应于方程的三个根.4 一般三次方程的两个求根公式为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程320ax bx cx d +++=，只需把相应的简约三次方程30y py q ++=的关键比χ和l 直接用系数,,,a b c d 表出即可.将由式（3）给出的,p q 值代入χ和l 的定义式（参见式（6）、（15））可得[4]323239227abc b a dχ--32λ.定义23D b ac =-, 则有32χ=,32λ=. （19）我们可以把它们称为三次方程320ax bx cx d +++=的关键比. 分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到23D p a =-和3b x y a=-（参见式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32χ=,W χ=+（20）则当0D ≠时它的根为[5]x =（21）设i W W e β=，W 为复数W 的模，arg W β=为其幅角主值（πβπ-<≤），的三个值为/3i β,(2)/3i βπ+,(2)/3i βπ-.代入式（21），即得方程的三个根：123x x x ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩定义实参数ρ=并利用欧拉公式cos sin i e i q q q =+，可将它们改写为12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a ββρρρρβπβπρρρρβπβπρρρρ⎧-+++-⎪=⎪⎪⎪-++++-+⎪⎪=⎨⎪⎪-++-+--⎪⎪=⎪⎪⎩（22）其中ρ=arg W β=, W χ=+定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32λ=Z λ=+, （23）则当0D ≠时它的根为x =（24）设i Z Z e α=，Z 为复数Z 的模，arg Z α=为其幅角主值（παπ-<≤），的三个值为/3i α,(2)/3i απ+,(2)/3i απ-.代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数σ=，可得方程的三个根：12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a αασσσσαπαπσσσσαπαπσσσσ⎧-+-++⎪=⎪⎪⎪-+-++++⎪=⎨⎪⎪-+--++-⎪=⎪⎪⎩（25）其中σ=arg Z α=, Z λ=+.注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是完全等价的，它们的区别仅在于关键比χ和l 的定义式中D 前面的符号不同一个为正一个为负（这导致χ和l 相差一个因子i ），从而也使得参数W 和Z 的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23））.在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.例题1 解复系数三次方程 320x ix x i ++-=.解法1 （用求根公式Ⅰ求解）：1a =, b i =, 1c =, d i =-,223()3114D b ac i =-=-⨯⨯=-,323198χ===-, 198W χ=+=-+=arg W βπ==, 0.604401892838194ρ==≈, 代入式（22），即得方程的三个根：111)cos ()sin)33311)cos0.6062907292071990.4()sin )33319643377607081 ,b i x ai i i ββρρρρππρρρρ-+++-=-++++-=≈21212)cos()()sin())333331.839286755214,161i i x i ππππρρρρ-++++-+=≈-31212)cos()()sin()0.60629)3333307292071990.41964337760708 ,1 i i x i ππππρρρρ-++-+--=≈-+解法2（用求根公式Ⅱ求解）：323198i λ===,198Z i λ=+=+=, arg 2Z πα==,1.654528239983047σ==≈,代入式（25），即得方程的三个根：111)cos ()sin )33311)cos0.6062907292071990.419643()sin )663377607081,b i x ai i i αασσσσππσσσσ-+-++=-+-+≈++=21212)cos()()sin())0.6062907292071990.4196433776076363081,3i i x i ππππσσσσ-+-+++=≈-++31212)cos()()sin()) 636 1.83928673355214161.i ii x ππππσσσσ-+---++-=≈和前面解法1用求根公式Ⅰ求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.对于实系数的三次方程，当然亦完全可以直接用求根公式Ⅰ或求根公式Ⅱ求解，但为了尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我们将推导出一组更简单的专门适用于实系数三次方程的求根公式.5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D c -判别法）对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，我们可以根据参数23D b ac =-的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.5.1 0D <的情形当230D b ac =-<时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比λ为实数（参见式（23）），Z λ=+亦为实数，设其实立方根为K ，三个值为K , 2/3i e K π,2/3i e K π-，代入式（24）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b K K x a b K K K K x i a a ππ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩))（26）其中K =32λ=（λ∈ , K ∈ ）.显然1x 为实根，2x , 3x 为共轭虚根.5.2 0D >的情形当230D b ac =->时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（20）），参数W χ=+1χ≥和1χ<这二种情形.（一）若1χ≥，则W χ=+κ三个值为κ, 2/3i e πκ, 2/3i e πκ-，代入式（21）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b x ab x i a a κκππκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-++-⎪=±⎪⎩))（27）其中κ=χ∈ , 1χ≥, κ∈ ）.易见1x 为实根. 当1χ>时2x ,3x 为共轭虚根. 当1χ=，即1χ=±时，1κ=±，2x ,3x 为两个相等的实根.（二）若1χ<，设cos χθ=（0q p <<），即1cos θχ-=，于是有cos cos sin i W i e θχθθθ=+=+=+=,三个值为/3i e θ, (2)/3i e θπ+, (2)/3i e θπ-，代入式（21）即得方程的三个根为[6]1232cos 3322cos()33322cos()333b x a b x a b x a θθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（28） 其中1cos θχ-=（χ∈ , 1χ<）.显然1x ,2x ,3x 全都是实根，且易证它们互不相等.实际上可证当0a >时132x x x >>，当0a <时132x x x <<. 由0q p <<可知033θπ<<,22333πθππ<+<, 223333πθππ-<-<-. 因此1cos 123θ<<, 211cos()332θπ-<+<-, 121cos()2332θπ-<-<. 根据式（28），当0a >时即可判定各根的范围如下：133b b x a a -+-+<<,333b b x a a---+<<, 233b b x a a----<<. 显然132x x x >>；当0a <时上面三个不等式中的不等号反向，即132x x x <<.5.3 0D =的情形当230D b ac =-=（即关键比的分母为0）时，方程320ax bx cx d +++=可以配成完全立方求解，两边同除以a ，再利用23b c a=可将它改写为33()()33b b d x a a a+=-. 解得123x x x ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（29） 其中w为三次单位根（122w =-+，2122ω==--）. 易见当3227b a d ≠时，1x 为实根. 2x ,3x 为共轭虚根. 当3227b a d =时，1233b x x x a ===-，即方程有一个三重实根3ba-.5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（D c -判别法）综合上面三小节所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为D c -判别法，参数23D b ac =-（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant ），它和关键比32χ合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程320ax bx cx d +++=的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：(1) 当230D b ac =-<时[7]，方程有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（26）求解.(2) 当230D b ac =->，1χ>时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根. 可用求根公式（27）求解.(3) 当230D b ac =->，1χ=时，方程有一个两重实根和一个单重实根.仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解[8]. (4) 当230D b ac =->，1χ<时，方程有三个互异的实根.可用三角求根公式（28）求解.(5) 当230D b ac =-=，3227b a d ≠时[9]，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.可配成完全立方或用式（29）求解.(6) 当230D b ac =-=，3227b a d =时[10]，方程有一个三重实根3b a-.例题2 判别方程32272840x x x -+-=根的情况并求解. 解：27a =, 2b =-, 8c =, 4d =-,223(2)3278644D b ac =-=--⨯⨯=-,由0D < 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.3232 ,2.290292896392045λ≈1.685620470846232K =≈,111)2)33270.366928020961414,b K K K K x a-+-+-==≈⨯2,31112()223273270.146426973443670 0.618313639592 831 .K K K K x i i -+--+=±⨯⨯≈)例题3 判别方程320.2760.01360.000430 x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.276)30.00.035376136D b ac =-=--⨯=,3231.49366201124 5,549χ≈由0D >，1χ> 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.1.375628929048766κ=≈,111)0.276)0.223820634031594,33b x aκκκκ-+++==≈2,31110.276()0.0260896829842030.0352208697227033190.x i i κκκκ-+-=±+≈)例题4 判别方程320.58560.0720.0020x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.5856)30.0720.12692736D b ac =-=--⨯=,323 0.84218618343,1575χ≈由0D >, 1χ<可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.10.56947125co 8305s 003θχ-=≈,12cos 0.58562cos0.4284461259031433333,b x aθθ-++==≈220.58562cos()3330.039765810249773,x θπ++=≈320.58562cos()3330.117388063847084.x θπ+-=≈【注解】【1】当0p =时它退化为平凡的三次方程30y q +=值.【2】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）. 【3】将χ=代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan ）公式.【4】对于任意非零复数a ，我们总可以选取平方根=（因为2223()9b aca -=-，所以，参见附录1和注2. 【5】 当0D =时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）. 【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8））导出. 【7】即当关键比χ为虚数时.【8】当1χ=时，1κ==，1cos 10θ-==，代入式（27）和式（28）都得到13b x a -+=，233b x x a-==；当1χ=-时，1κ==-，1cos (1)θπ-=-=，代入式（27）得到13b x a --=, 233b x x a-+==，代入式（28）得到133b x x a-+==，23b x a --=，两者的差别只是根的编号不同.【9】即当关键比c 的分母为0而分子不为0时.【10】即当关键比c 的分母和分子都为0时.附录1 复数的方根及其性质满足n w z =的复数w 称为复数z 的n 次方根，和实数的方根一样用符号w =.设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤），则其n 的一般值由下式给出：(2)/22)sin())i k n k k i nnθπθπθπ+++==+ , （30）其中k 为任意整数，当0,1,2, ..., 1k n =-时，上式正好给出n 个不同的值，等价地说，是一个多值函数，共有n 个值，我们可以把0k =/i n θ的主值.特别地，在式（30）中取2n =,0,1k =，即得平方根的两个值为/2i θ,iθ，前者为主值./2易见复数的方根有下面的性质：=（31）鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说，我们可以对它作如下更精细的解释：(1) .(2) 的一个值，（共有n个）时，的所有值（亦共有n个）.(3) .参考文献[1]（美）迪克森（L.E.Dickson）著；黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.3.。