d 2 z dx1 , dx2 dx n
dx1 , dx2 dx n t海塞矩阵（二阶导数矩阵）
f11 f 1n f f 21 2n H f n1 f nn
简化表达
2 f 2 f x x x x 1 n 1 1 2 f 2 f x2 xn x2x1 2 2 f f x x x x n n n 1
该函数的一阶全微分表示为：
f f f dz dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
二阶全微分表达式
2 2 2 f f f d 2z dx1 dx1 dx1 dx2 dx1 dxn x1x1 x1x2 x1xn
即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。
对于多变量函数
z f ( x ), u 和v 均在定义域中，取 （0 1） , 若满足： f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v ),该函数为凹函数。
若满足： f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v )，该函数为严格凹函数 。
Z f x
，u 和 v 是定义域中的两个量，且u v
令 x u (1 ) v ， 0 1 如果满足 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v) 则称为凹函数（小于等于，凸函数）
若 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v)
则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）
直观图形
f ( x)
严 格 凹 函 数
A
C
f ( x)
D B
直观图形
非 严 格 凹 函 数
总结
• 两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。
用一阶导数来定义
若函数存在一阶连续导 数，u和v是定义域中的两个量， 且u v,当且仅当： f (v) f (u ) f ' (u )(v u ) 该函数为凹函数。
2 f 2 f 2 f dx2 dx1 dx2 dx2 dx2 dxn x2x1 x2x2 x2xn
2 f 2 f 2 f dxn dx1 dxn dx2 dxn dxn xn x1 xnx2 xnxn
z
图示
C B D A
y
总结
• 在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称 为凹函数。
一阶导数的定义
当且仅当：
f u1 , v1 f u2 , v2 f v f u v1 u1 v2 u2 u1 u2
凸集
• 定义
如果u S , v S , 满足u (1- )v S， 0 1，则集合S为凸集
例子
• 1维空间：单个点 • 2维空间： 直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等
三维空间呢？
总结
• “没有任何孔，边缘不能有缩进”
——蒋中一
意义
• 经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。 • 约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。
二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）
t d z dx H dx
2
二阶导数的判定方法
• 当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。
负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于 零……
• 当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。
负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……
问题
• 经济学分析中，有哪些约束集合？
练习题：判断下列集合是否为凸集

x x , y y e

2
x, y y 13 x
x, y y e
x
x, y xy 1, x 0, y 0
凹函数（concave）
凹函数的定义
• 以最简单的单变量函数为例来定义：
f(x)
图示
u
v
x
总结
• 该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。 • 过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。
凹函数的定义
• 对双变量函数来说：
z f ( x, y ), 取定义域中u (u1 , u2 ), v (v1 , v2 )， 令w u (1 )v ，（0 1 ） , 则满足是凹函数的条件 是： f ( w) f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v )
顺序主子式值正负交替变化
f11 0
f11 f1n f11 f12 f 21 f 22 0，n为奇数 0 0，n为偶数 f n1 f nn f 21 f 2 n
凹函数的二阶导数的判定方法
• 若函数存在二阶连续偏微分，则：
当且仅当d z 0时，z f ( x )为凹函数。 2 当（非当且仅当） d z 0时，z f ( x )为
2
严格凹函数。
与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵
• 多变量函数： z f x1 , x2 xn