2 f 2 f 2 f dx2 dx1 dx2 dx2 dx2 dxn x2x1 x2x2 x2xn
2 f 2 f 2 f dxn dx1 dxn dx2 dxn dxn xn x1 xnx2 xnxn
该函数的一阶全微分表示为：
f f f dz dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
二阶全微分表达式
2 2 2 f f f d 2z dx1 dx1 dx1 dx2 dx1 dxn x1x1 x1x2 x1xn
面临多个约束时的一阶条件
F F F 0, 0, ， 0, x1 x2 xn F F 0, 0
凹函数的二阶导数的判定方法
• 若函数存在二阶连续偏微分，则：
当且仅当d z 0时，z f ( x )为凹函数。 2 当（非当且仅当） d z 0时，z f ( x )为
2
严格凹函数。
与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵
• 多变量函数： z f x1 , x2 xn
二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）
t d z dx H dx
2
二阶导数的判定方法
• 当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。
负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于 零……
• 当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。
负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……
若 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v)
则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）
直观图形
f ( x)
严 格 凹 函 数
A
C
f ( x)
D B
直观图形
非 严 格 凹 函 数
总结
• 两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。
满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？
双变量的情形
A
A
二阶条件
d z 0是极大值的充分条件， 但非必要条件。
2
因为在d 2 z 0时，也可能为极值。
例如，y x , dy 0时，x 0,
4
d y 12x 0
2 2
二阶必要条件
函数z为极大值的二阶必要条 件是： f ( x) 0或d z 0
0 f1 Bn f 2 fn
f1 f11 f 21 f n1
f2 f12 f 22 fn2

fn f1n f 2n f nn

拟凹函数的充分条件
0,当n为奇数 B1 0， B2 0， ， Bn 0，当n为偶数
拟凸函数的充分条件
定义
对于函数z f ( x)定义域中的不同点 u和v, 且f (v) f (u), 取（0 1 ） , 满足：
f [u (1 )v] f (v)
则该函数为拟凸函数。 若严格大于，则为严格 拟凸函数。
图示
函数图形上任意一段弧MN,使N 点高于M点，如果除M和N点外， 该弧段上的点均高于或等于M点， 则该函数为拟凹函数。
简化表达
2 f 2 f x x x x 1 n 1 1 2 f 2 f x2 xn x2x1 2 2 f f x x x x n n n 1
x
x, y xy 1, x 0, y 0
凹函数（concave）
凹函数的定义
• 以最简单的单变量函数为例来定义：
Z f x
，u 和 v 是定义域中的两个量，且u v
令 x u (1 ) v ， 0 1 如果满足 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v) 则称为凹函数（小于等于，凸函数）
凹函数的定义
• 对双变量函数来说：
z f ( x, y ), 取定义域中u (u1 , u2 ), v (v1 , v2 )， 令w u (1 )v ，（0 1 ） , 则满足是凹函数的条件 是： f ( w) f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v )
z
自由极值
y
约束极值
x
• 多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量
约束条件下求极值的方法
• 拉格朗日乘数法 目标函数： z f ( x1 , x2 ,......xn ) 约束条件： s.t : g ( x1, x2 ,......xn ) c 构造一个新函数：
F(x1 , x2 ,......xn )=f ( x) c g ( x)
取该函数定义域中的两 个值u , v，且f (u ) f (v)，满足： f ' (u )(v u ) o
如果函数z是一阶连续可微的，则 拟凹函数的一阶导的 定义是：
对比凹函数： f (v) f (u) f ' (u) (v u)
拟凹函数的二阶必要条件
如果函数z f ( x)是二阶连续可微的，且 x1 , x2 xn 0, 则是拟凹函数的必要条 件是： 0, 当n为奇数 B1 0， B2 0， ， Bn 0，当n为偶数
无约束条件下的极值问题
最优化的一阶条件
若函数z f ( x1 , x2 ,，xn )存在一阶偏导数， 则最优化的一阶条件为 ： f ( x) 0, 或dz f ( x) dx 0, dx 0
' '
dz 0, 即f1 0, f 2 0, f n 0 满足dz 0的点称为稳定点。
'' 2
回忆：关于凹函数
当且仅当d 2 z 0时，z f ( x)为凹函数 所以如果该函数是凹函 数，一定满足极大值的 二阶条件。 求极大值，只需要求满 足一阶条件的点就可以 了。
所以，当求无约束条件 下的最优解时，需假定 该函数为凹函数。
等式约束条件下的最优化问题
自由极值、约束极值
• 在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。 • 但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。
加边海塞矩阵
0 f1 B f2 fn
f1 f11 f 21 f n1
f2 f12 f 22 fn2

fn f1n f 2n f nn

B的顺序主子式
B1 0 f1 f1 f11
f1 f11 f 21 f2 f12 f 22
0 B2 f1 f2
z
图示
C B D A
y
总结
• 在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称 为凹函数。
一阶导数的定义
当且仅当：
f u1 , v1 f u2 , v2 f v f u v1 u1 v2 u2 u1 u2
即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。
对于多变量函数
z f ( x ), u 和v 均在定义域中，取 （0 1） , 若满足： f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v ),该函数为凹函数。
若满足： f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v )，该函数为严格凹函数 。
A N B
u
v
思考：与凹函数的关系？
• 凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。 • 拟凹性是比凹性要弱的条件。
典型图示
f(x)
X
上等值集判定方法
• 如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟 凹函数。 • 上等值集的定义：
x f ( x) k
取k , 满足：
例子：
一阶导数定义
顺序主子式值正负交替变化
f11 0
f11 f1n f11 f12 f 21 f 22 0，n为奇数 0 0，n为偶数 f n1 f nn f 21 f 2 n
二阶导数的判定方法
• 当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。
拟凹函数（quasiconcave）
定义
对于函数z f ( x)定义域中的不同点 u和v, 且f (v) f (u), 取（0 1 ） , 满足：
f v f u f u 1 v f u
则该函数为拟凹函数。 若严格大于，则为严格 拟凹函数。
第二章 微观经济学分析的数学方法
凸集
• 定义
如果u S , v S , 满足u (1- )v S， 0 1，则集合S为凸集
例子
• 1维空间：单个点 • 2维空间： 直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等
三维空间呢？
总结
• “没有任何孔，边缘不能有缩进”
对新函数F ( x1, x2 ,，xn , )求一阶偏导数，使之均 等于0
F F F ,...... 0, 0 x1 xn
面临多个约束时的一阶条件
g ( x1 , x2 ,，xn ) c, h( x1 , x2 ,，xn ) d 可引入两个乘数： ，， F ( x1 , x2 , xn , , ) f ( x1 , x2 ,，xn ) [c g ( x1 , x2 , xn )] [d h( x1 , x2 ,，xn )]
用一阶导数来定义
若函数存在一阶连续导 数，u和v是定义域中的两个量， 且u v,当且仅当： f (v) f (u ) f ' (u )(v u ) 该函数为凹函数。