(3)设m＝k(k≥1)时成立，当m＝k+1时，对G进行如下讨论。 设 ＝ 时成立， 进行如下讨论。 时成立 ＝ 时 进行如下讨论 是树， 是非平凡的， 中至少有两片树叶。 若G是树，则G是非平凡的，因而 中至少有两片树叶。 是树 是非平凡的 因而G中至少有两片树叶 为树叶， 仍然是连通图， 设v为树叶，令G'=G-v，则G'仍然是连通图，且G'的边数 为树叶 ， 仍然是连通图 的边数 m'=m-1=k，n'=n-1，r'=r。 ， ， 。 由假设可知 n'-m'+r'=2，式中n'，m'，r'分别为 的顶点数， ，式中 ， ， 分别为G'的顶点数， 分别为 的顶点数 边数和面数。 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 于是 不是树， 中含圈。 若G不是树，则G中含圈。 不是树 中含圈 设边e在 中某个圈上 中某个圈上， 仍连通且m'=m-1=k 设边 在G中某个圈上，令G'=G-e，则G'仍连通且 ， 仍连通且 ， n'=n，r'=r-1。 ， 。 由假设有 n'-m'+r'=2。 。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=n'-m'+r'=2
定理16.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图 ，有 个连通分支的平面图G， 定理16.9 对于具有 个连通分支的平面图 n-m+r = k+1 其中n， 分别为G的顶点数 其中 ，m，r分别为 的顶点数，边数和面数。 分别为 的顶点数，边数和面数。
证明
的连通分支分别为G 并设G 的顶点数、 设G的连通分支分别为 1、G2、…、Gk，并设 i的顶点数、 的连通分支分别为 、 边数、面数分别为n 边数、面数分别为 i、mi、ri、i=1，2，…，k。 ， ， ， 。 由欧拉公式可知: 由欧拉公式可知 ni-mi+ri = 2，i=1，2，…，k ， ， ， ， 易知， m = ∑ mi，n = ∑ ni 易知，
i =1 i =1 k k
(161)
由于每个G 有一个外部面， 只有一个外部面， 由于每个 i 有一个外部面，而G只有一个外部面，所以 的面数 只有一个外部面 所以G的面数 k r = ∑ ri − k + 1
i =1
于是， 于是，对(161)的两边同时求和得 的两边同时求和得
2k = ∑ (ni − mi + ri ) = ∑ ni − ∑ mi + ∑ ri = n − m + r + k − 1
只有右边的图为极大平面图。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 因为只有该图每个面的次数都为 。
四、极小非平面图 定义16. 若在非平面图G中任意删除一条边 所得图G′为平面 中任意删除一条边， 定义16.4 若在非平面图 中任意删除一条边，所得图 为平面 16 则称G为极小非平面图 为极小非平面图。 图，则称 为极小非平面图。 由定义不难看出： 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。 例如：以下各图均为极小非平面图。
（2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。 ） ）的平面嵌入， ） ）的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论 、 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时， 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时，一定是指平 面嵌入。 面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 都不是平面图。 定理16. ′⊆G， 为平面图， 定理16.1 设G′⊆ ，若G为平面图，则G′也是平面图。 16 ′⊆ 为平面图 ′也是平面图。 定理16. ′⊆G， 也是非平面图。 定理16.2 设G′⊆ ，若G′为非平面图，则G也是非平面图。 16 ′⊆ ′为非平面图， 也是非平面图 都是非平面图。 推论 Kn(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。 ≥ 和 ≥ 都是非平面图 定理16.3 若G为平面图，则在G中加平行边或环所得图还是平面图。 定理16.3 为平面图，则在 中加平行边或环所得图还是平面图。 为平面图 中加平行边或环所得图还是平面图 即平行边和环不影响图的平面性。 即平行边和环不影响图的平面性。
16 平面图
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 、 定义16. 定义16.1 16 G可嵌入曲面 可嵌入曲面S——如果图 能以这样的方式画在曲面 上 如果图G能以这样的方式画在曲面 可嵌入曲面 如果图 能以这样的方式画在曲面S上 即除顶点处外无边相交。 ，即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图 是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。 若 可嵌入平面。 是可平面图或平面图 可嵌入平面 G的平面嵌入 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 画出的无边相交的平面图。 的平面嵌入 画出的无边相交的平面图 非平面图——无平面嵌入的图。 无平面嵌入的图。 非平面图 无平面嵌入的图
i =1 i =1 i =1 i =1 k k k k
经整理得 n-m+r = k+1。 。
2、 与欧拉公式有关的定理 、 定理16. 为连通的平面图， 定理 16.10 设 G为连通的平面图 ， 且每个面的次数至少为 16 为连通的平面图 l(l 3)，则 G的边数与顶点数有如下关系： 的边数与顶点数有如下关系： ， 的边数与顶点公式 、 定理16.8 对于任意的连通的平面图G， 定理16.8 对于任意的连通的平面图 ，有 n-m+r=2 其中， 、 、 分别为 的顶点数、边数和面数。 分别为G的顶点数 其中，n、m、r分别为 的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 对边数 作归纳法。 作归纳法 (1) m＝0时，由于 为连通图，所以 只能是由一个孤立顶 为连通图， ＝ 时 由于G为连通图 所以G只能是由一个孤立顶 点组成的平凡图， 点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 ，结论显然成立。 (2) m＝1时，由于 为连通图，所以 为连通图， ＝ 时 由于G为连通图 所以n=2，m=1，r=1，结论 ， 显然成立。 显然成立。
∑ deg( R ) = 2m
证 明
i =1 i
r
其中r为G的面数
本定理中所说平面图是指平面嵌入。 本定理中所说平面图是指平面嵌入。 ∀e∈E(G)， e∈E(G)， 为面R 的公共边界上的边时， 1当e为面 i和Rj(i≠j)的公共边界上的边时，在计算 i和Rj的次 为面 的公共边界上的边时 在计算R 数时， 各提供 各提供1。 数时，e各提供 。 只在某一个面的边界上出现时， 2当e只在某一个面的边界上出现时，则在计算该面的次数时 只在某一个面的边界上出现时 提供2。 ，e提供 。 提供 于是每条边在计算总次数时，都提供 ，因而deg(Ri)=2m。 于是每条边在计算总次数时，都提供2，因而 。
定理16. 阶简单连通的平面图， 为极大平面图 定理16.7 设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图 16 为 ≥ 阶简单连通的平面图 当且仅当G的每个面的次数均为 。 当且仅当 的每个面的次数均为3。 的每个面的次数均为
证 明 思 路
本节只证明必要性，即设G为n(n≥3) )阶简单连通的平面图，G 阶简单连通的平面图， 本节只证明必要性，即设 为 ≥ 阶简单连通的平面图 为极大平面图， 的每个面的次数均为3。 为极大平面图，则G的每个面的次数均为 。 的每个面的次数均为 由于n≥ 必为简单平面图， 每个面的次数均≥ 由于 ≥3, 又G必为简单平面图，可知，G每个面的次数均≥3。 必为简单平面图 可知， 每个面的次数均 。 因为G为平面图，又为极大平面图。可证G不可能存在次数 不可能存在次数>3 因为 为平面图，又为极大平面图。可证 不可能存在次数 为平面图 的面。 的面。
2、几点说明 、 若平面图G有 个面 可笼统地用R 个面， 表示， 若平面图 有k个面，可笼统地用 1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。 要指出外部面。 回路组是指：边界可能是初级回路（ 回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 也可能是复杂回路。特别地， 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。 之并。
R1
R0 R2
R3
平面图有4个面， 平面图有 个面，deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。 个面 。
定理16.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数 的两倍， 中所有面的次数之和等于边数m的两倍 定理16.4 平面图 中所有面的次数之和等于边数 的两倍，即
三、极大平面图 1、 定义 、 定义16. 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之 定义16.3 若在简单平面图 中的任意两个不相邻的顶点之 16 间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图 为极大平面图。 间加一条新边所得图为非平面图，则称 为极大平面图。 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点， G显然是极大平 注意： 若简单平面图 中已无不相邻顶点， 显然是极大平 中已无不相邻顶点 面图， 平凡图） 都是极大平面图。 面图，如K1（平凡图）, K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 、 定理165 极大平面图是连通的。 定理165 极大平面图是连通的。 定理166 阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理166 n(n≥3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 ≥ 阶极大平面图中不可能有割点和桥
本节说明
本节的主要内容
–平面图的基本概念 平面图的基本概念 –欧拉公式 欧拉公式 –平面图的判断 平面图的判断 –平面图的对偶图 平面图的对偶图 –顶点着色及点色数 顶点着色及点色数 –地图的着色与平面图的点着色 地图的着色与平面图的点着色 –边着色及边色数 边着色及边色数