“工大出版社杯”第十五届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目B题剪切线力学与土木建筑学院第15 队摘要食品价格波动对国家经济和居民生活产生了直接的影响，对食品价格变动进行科学分析有助于国家采取积极有效的措施稳定食品价格，防止通货膨胀。

在此我们结合附件中的信息数据建立数学模型，探究我国食品价格变动的相关问题。

针对问题一：本文建立了数据分析模型，用图线反映了2014年1-4月食品价格随时间变动的关系。

我们首先对食品进行分类，取某类几种食品价格的平均数作为分析对象，以Excel为基础分别拟合出各类食品的价格变化波动图，尝试对不同类食品变动曲线进行分析得出波动特点。

针对问题二：建立多元线性回归模型，利用最小二乘法及统计学相关原理减小误差，得到较准确的多元线性回归模型。

再根据以往数据进行检验模型的准确性与适用性，进而根据建立的模型做出5月份价格预测，最后以图表形式给出预测结果。

针对问题三：用SPSS软件分析数据，得出CPI与各食品的相关系数，比较则可得需监测的食品种类（相关系数越高则越需要监测）。

选取福州和银川两个城市进行比较，认为不同城市应根据自身消费水平和习惯选择不同的食品监测。

关键词：Excel 多元线性回归分析 SPSS主成分及相关关系分析目录一. 问题重述二. 问题分析三. 模型假设四. 模型的建立与求解4.1 问题一的模型建立与求解4.2 问题二的模型建立与求解4.3 问题三的模型建立与求解五．模型的评价与改进5.1 模型的评价5.1.1 模型的优点5.1.2 模型的缺点5.2 模型的改进参考文献一．问题重述食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。

为了检测国家食品价格实际变动情况，分析食品价格波动特点，探求变化规律以助于预测食品价格未来走势，采取相应稳定食品价的措施，需建立数学模型解决以下问题：1. 根据附件以及网站的数据，分析我国食品价格波动的特点2. 对2014年5月份食品价格走势进行预测3. 分析各食品种类对CPI的影响，使统计部门仅仅通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数。

在同样精度要求下，分析不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致，并选择两个有特点的城市进行说明。

二．问题分析影响食品价格变动的因素固然是多方面的，比如金融经济、消费观念、消费需求、成本等。

我们立足于用实际数据说话，以拟合曲线的形势表示出来，从而对食品价格进行预测。

首先，在问题一中运用Excel对价格变动进行拟合分析得出波动曲线，观察各类食品价格变动的特点。

其次，问题二结合多元线性回归模型进行数据分析，用最小二乘法得出回归参数β，建立回归方程，以已有数据求得方程的解，得出5月份食品价格走势。

问题三通过分析数据，比较CPI与各种食品价格变动的相关性大小，相关系数越大则表示CPI受该食品影响越大，如此可得最应检测的几种食品。

在分析不同城市监测食品种类是否一致时，我们选取了特色迥异、消费差异较大的两个城市福州和银川，明显分析出其应该根据自身消费水平及生活习惯监测不同的食品种类。

三．模型假设1.假设图表所提供的数据基本可靠2.假设除图表所列食品之外其他食品价格变动没有对结论产生明显影响3.不考虑预测的时间段内自然灾害，季节变化，经济危机对食品价格的影响4.不考虑同种食品存在的优劣差。

四．模型的建立与求解4.1问题一的模型建立与求解1. 依据食品的固有属性将附件所给食品分为粮食类，油脂类，肉禽类，蛋类，水产品类，鲜菜类，鲜果类等7大类。

2. 数据分析模型：根据提供的2014年1-4月50个城市主要食品价格变动数据，计算每旬（将每月分成三旬，十天为一旬，一旬作为一个时间点）每类食物的平均价格，将其作为基数，描述价格变化曲线，及给类食品价格变化特点。

模型一：（1）变动特点：前期有短暂下降，中期价格回升并保持稳定，后期迅速增高后趋于稳定。

（2）变动特点：价格逐渐上升，中期到达峰值，后期明显下降。

（3）变动特点：前期有上升趋势，中后期持续下降。

(4)变动特点：前期价格稳定，中期下降后有所回升，后期保持稳定。

（5）变动特点：前期有缓慢上升趋势，中期剧烈下降后迅速回升，后期一直保持高价稳定。

（6）变动特点：前期逐渐增长，中期迅速增长，峰值后迅速下降，后期缓慢下降.（7）变动特点：前期逐渐上升，中期达到峰值后有所下降，后期价格稳定（8）变动特点：前期有所增长，中期迅速下降后有所回升，后期稳定但有下降趋势。

4.2问题二的模型建立与求解1. 多元线性回归模型：由于食品的CPI 由多项类型食物共同决定，包括：粮食类、油脂类、肉禽类、蛋类、水产品类、鲜菜类、鲜果类等7种食品。

故需建立多元线性回归模型。

模型二：1)、回归系数的最小二乘估计其表达式为：02(0,),1,,i i ii Y x N i nββεεδ=++⎧⎪⎨=⎪⎩(1)式中0β，…，7β为回归系数记：111111m n mm x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1n y Y y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1n εεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]01Tn ββββ=(2)(1)式表示为：()20Y X N I βεεδ=+⎧⎪⎨⎪⎩， （3） 为了根据最小二乘准则估计模型（1）中的参数β，由（3）式这组数据的误差平方和为：21()()()nT i i Q Y X Y X βεββ===--∑利用极值的必要条件=0x x∂∂（j=0,1,,m ），求β使()Q β最小得到方程组 ()0T X Y X β-= 得该方程组的解：^1()TT XX X Y β-=2）、多元线性回归的统计分析：1、误差方差2δ的估计 将^β代回模型（1）得到y 的估计值^^^^101m x x my βββ=+++ （4）残值i e 及残值平方和Q 的定义，而剩余方差为：^221Qs N M δ==-- （5）因为模型中参数的个数为1m +，所以Q 的自由度是(1)n m -+2、回归系数β的区间估计和假设检验 可以证明在多元线性回归的基本假设下，^β和Q 具有如下的性质：()^2,,1,,j jj N c j m βδβ= （6）22/(1)Q N M δχ-- （7）且^β和Q 相互独立，其中jj c 是矩阵（1()TX X-）的第j 对角元素，根据t 分布的定义由（4）、（5）、（6）、（7）可的统计量：^(2)j t t n ββ==--给定显著性水平,(2)a t n -的1/2a -分位数为(2),1/2,n a j t β--的置信区间（j =1，…，m）是：^^(2),1/2(2),1/2j n a j n a t t ββ⎡⎤⎢⎢----⎢⎣-+ 3）、模型的有效性检验——决定系数和F 统计量 提出假设检验：012:0m H βββ====可以证明当0H 成立时： ()22/m U δχ且U 和Q相互独立。

于是根据^^()/(2)j j t t n ββββ-==--和F 分布的定义可以选择F 统计量/(,1)/(1)U mF F m n m Q n m =---- （4）给定显著性水平,(,1)F m n m α--的1α-分位数记做(),1a F -m,n-m-1，当由（4）式计算的(,1),1m n m a F F --->时拒绝0H ,模型（1）整体有效，但不排除有若干个00β=。

将数据代入、计算模型（1），通过了有效检验后，可由自变量的任意给定的值1(,,)m x x x =预测因变量的理论值y,记做^y ，显然^^^^101m x x my βββ=+++，^y 是无偏的，并且均方误差^2()E y y -最小。

各类食品价格变动曲线及拟合方程曲线如下：从以上曲线走势可以预测出5月份的价格及变动情况，结果如下表：4.3 问题三的模型建立与求解利用SPSS主成分及相关性分析，可得各食品价格之间关系，各食品价格与CPI 的关系，根据相关系数大小判断各食品价格对CPI的影响。

SPSS分析结果如下：CorrelationMatrix大米面粉1面粉2豆制品花生油大豆油菜籽油猪肉1猪肉2牛肉羊肉白条鸡鸡胸肉鸭鸡蛋活鲤鱼活草鱼带鱼大白菜油菜芹菜黄瓜西红柿豆角土豆苹果香蕉CPICorrelati on 大米10.8660.8660.69341E-140.7559-0.3340.52910.95030.33390.54550.42710.97070.3812-0.3590.47630.55380.24470.70610.5130.62090.40170.24960.30690.35240.33830.23320.982面粉10.86610.50.9608-0.50.32730.18250.03390.66730.76040.89150.8220.96080.7924-0.7780.85210.89590.69670.96560.87350.92970.80570.70030.74170.77310.76350.68820.7559面粉20.8660.510.24020.50.982-0.760.88250.9787-0.1820.0533-0.0820.7206-0.1320.1555-0.0270.0632-0.2730.25750.01510.1458-0.11-0.268-0.21-0.163-0.178-0.2840.9449豆制品0.69340.96080.24021-0.7210.05240.448-0.2450.43450.91070.98220.94770.84620.9305-0.9220.96380.9840.86830.99980.97420.99540.93840.87080.89860.91870.91270.86240.5447花生油1E-14-0.50.5-0.72110.6547-0.9430.84860.3114-0.943-0.838-0.904-0.24-0.9240.9333-0.879-0.833-0.97-0.708-0.858-0.784-0.916-0.968-0.952-0.936-0.941-0.9720.189大豆油0.75590.32730.9820.05240.65471-0.8690.95550.9222-0.365-0.136-0.2690.5766-0.3170.3394-0.216-0.127-0.450.0702-0.174-0.044-0.296-0.445-0.391-0.346-0.36-0.460.866菜籽油-0.3340.1825-0.760.448-0.943-0.8691-0.976-0.6110.77730.60810.7099-0.0970.7443-0.760.67010.60020.83240.4320.63810.53180.72930.82960.79480.76470.77430.8389-0.506猪肉10.52910.03390.8825-0.2450.84860.9555-0.97610.767-0.623-0.423-0.5410.3098-0.5830.6019-0.494-0.414-0.693-0.227-0.457-0.337-0.565-0.69-0.645-0.608-0.62-0.7020.6799猪肉20.95030.66730.97870.43450.31140.9222-0.6110.76710.02370.25740.12430.84770.0744-0.0510.17880.2669-0.0690.45050.22020.3460.0965-0.064-0.0050.04340.0284-0.0810.992牛肉0.33390.7604-0.1820.9107-0.943-0.3650.7773-0.6230.023710.97210.99490.55050.9987-10.98790.96980.99570.90320.98040.94620.99730.99610.99960.999810.99450.1497羊肉0.54550.89150.05330.9822-0.838-0.1360.6081-0.4230.25740.972110.99080.73080.9828-0.9780.996810.94610.97860.99930.99570.98660.94770.96510.97660.97320.94220.3773白条鸡0.42710.822-0.0820.9477-0.904-0.2690.7099-0.5410.12430.99490.990810.63180.9987-0.9970.99850.98940.98120.94180.99530.9740.99960.98220.99160.99670.99540.97890.2485鸡胸肉0.97070.96080.72060.8462-0.240.5766-0.0970.30980.84770.55050.73080.631810.5921-0.5730.67350.73760.47040.85550.70410.7910.60990.47490.52650.56690.55440.460.9078鸭0.38120.7924-0.1320.9305-0.924-0.3170.7443-0.5830.07440.99870.98280.99870.59211-10.99450.98090.98970.92380.98910.96140.99980.99040.99690.99950.99890.98790.1997鸡蛋-0.359-0.7780.1555-0.9220.93330.3394-0.760.6019-0.051-1-0.978-0.997-0.573-11-0.992-0.976-0.993-0.914-0.985-0.955-0.999-0.993-0.998-1-1-0.991-0.176活鲤鱼0.47630.8521-0.0270.9638-0.879-0.2160.6701-0.4940.17880.98790.99680.99850.67350.9945-0.99210.99590.96910.95890.99910.9850.99660.97030.9830.99070.98860.96610.3015活草鱼0.55380.89590.06320.984-0.833-0.1270.6002-0.4140.26690.969810.98940.73760.9809-0.9760.995910.94290.98060.99880.99660.9850.94450.96240.97440.97090.93890.3864带鱼0.24470.6967-0.2730.8683-0.97-0.450.8324-0.693-0.0690.99570.94610.98120.47040.9897-0.9930.96910.942910.85930.95780.9120.986210.99790.99360.99520.99990.0571大白菜0.70610.96560.25750.9998-0.7080.07020.432-0.2270.45050.90320.97860.94180.85550.9238-0.9140.95890.98060.859310.97010.99350.93210.86190.89060.91150.90520.85320.5596油菜0.5130.87350.01510.9742-0.858-0.1740.6381-0.4570.22020.98040.99930.99530.70410.9891-0.9850.99910.99880.95780.970110.99140.99220.95930.97440.98410.98130.95440.3415芹菜0.620.920.140.995-0.78-0.040.531-0.330.340.940.990.9740.7910.96-0.950.9850.9960.910.9930.9910.960.9140.930.950.940.900.4609975844487662571456251473662477716黄瓜0.40170.8057-0.110.9384-0.916-0.2960.7293-0.5650.09650.99730.98660.99960.60990.9998-0.9990.99660.9850.98620.93210.99220.967310.98710.99490.99860.99770.98420.2213西红柿0.24960.7003-0.2680.8708-0.968-0.4450.8296-0.69-0.0640.99610.94770.98220.47490.9904-0.9930.97030.944510.86190.95930.9140.987110.99820.99420.99570.99990.0621豆角0.30690.7417-0.210.8986-0.952-0.3910.7948-0.645-0.0050.99960.96510.99160.52650.9969-0.9980.9830.96240.99790.89060.97440.93660.99490.998210.99880.99950.99710.1215土豆0.35240.7731-0.1630.9187-0.936-0.3460.7647-0.6080.04340.99980.97660.99670.56690.9995-10.99070.97440.99360.91150.98410.95240.99860.99420.998810.99990.99220.1692苹果0.33830.7635-0.1780.9127-0.941-0.360.7743-0.620.028410.97320.99540.55440.9989-10.98860.97090.99520.90520.98130.94770.99770.99570.99950.999910.9940.1544香蕉0.23320.6882-0.2840.8624-0.972-0.460.8389-0.702-0.0810.99450.94220.97890.460.9879-0.9910.96610.93890.99990.85320.95440.9070.98420.99990.99710.99220.99410.0452CP I 0.9820.75590.94490.54470.1890.866-0.5060.67990.9920.14970.37730.24850.90780.1997-0.1760.30150.38640.05710.55960.34150.46160.22130.06210.12150.16920.15440.04521可以认为：当相关系数大于0.9时，该食品价格对CPI有很大影响。