课题：§线段旋转扫过的面积
泉州市经济技术开发区泉州经济技术开发区实验学校黄立
内容分析
1．课标要求
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行弧长和面积的相关计算。

2．教材分析
知识层面：旋转的基本性质：对应线段相等，对应角相等，图形中每一个点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。

角的动态定义：将一条射线绕着端点旋转一定的角度所形成的图形。

圆的定义的轨迹说：将一条线段绕着一个端点旋转一周所形成的图形。

本课时既承接这三个知识点，又通过图形面积的割补法推导所得线段旋转扫过的面积，也丰富了圆中的计算的相关应用。

能力层面：学生在学习了旋转的基本性质，已经具有观察和操作能力，积累了一定的探索和推理经验，具备进行“探索—猜想—证明”线段旋转扫过的面积的基础。

先通过学生课前分组发现问题，操作观察，思考解决方案，培养学生的创新意识和建模能力；由合情推理得出结论，再演绎推理论证结论的合理性，进一步发展学生推理证明的能力；最后回到课前的问题解决来培养学生的应用意识。

思想层面：线段旋转扫过的面积的探索和论证过程为渗透数学思想方法提供一个发展提高平台：通过对不规则图形的割补为规则图形进行计算，体现化归与转化的思想；通过线段端点在垂足同侧→线段端点在垂足异侧，这个探究过程体现从特殊到一般的思想，有助于培养学生几何直观能力和思维层次性。

3．学情分析
（1）学生已经学习了旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说，并且进行了实际操作验证，这为探究线段旋转扫过的面积提供了认知基础。

（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究线段旋转扫过的面积的证明策略及方法提供了情感保障。

（3）学生在探究线段旋转扫过的面积过程中，其认知顺序可能是建构型的。

旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说是其原有知识储备的主要图式，通过对原有图式完全可以建立线段旋转过程的几何模型，进一步探究求面积的割补方法。

教学目标
1．知识与技能：学生由对线段旋转扫过的面积感性认识上升到理性推理证明，掌握线段旋转扫过的面积的证明及简单应用。

2．过程与方法：学生亲历实际问题，探究几何建模的过程，体会思维实验和符号化的理性运用；在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力；对比线段端点到旋转中心是否为距离最值点，形成从特殊到一般的数学思想。

3．情感态度与价值观：通过实际问题的建模过程，经历线段旋转扫过的面积的不同割补方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

教学重难点
重点：线段旋转扫过的面积的探索和证明过程。

难点：不规则图形的割补过程；线段端点在垂足异侧的一般情况。

教学策略
1．让学生经历“探索—猜想—证明—应用”的数学活动证明，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，进一步发展学生的推理论证能力。

2．通过自主探究和合作交流的学习方式，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣。

同时，让学生在探索线段旋转扫过的面积的过程中积累经验，解决实际问题后体会成功的喜悦。

【设计意图】
学生在之前已经学习过了旋转的基本性质，本节课需要重点解决的问题是探索旋转的基本性质在实际生活中的应用，体现在线段旋转扫过的面积，探索和证明过程就必然成为本节课的重难点。

本课基本定位在于，通过实际生活中问题的探索过程培养学生分析建模的能力；借助几何画板的过程分析，启发诱导学生观察，进一步探索，渗透一般到特殊的思想；通过证明的教学实践，培养学生分类与整合的数学思想和推理论证的能力。

教学过程
一、自主探究
活动1：以前我们学过的角的动态定义，圆的定义的轨迹说是什么？扇形是不是可以类比同样的方法进行定义？
【设计意图】按“最邻发展区”的要求，鉴于学生对旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说已经有了一定的了解，类比扇形，引入线段旋转扫过的图形。

活动2：如果线段所绕的旋转中心不为线段的端点，扫过的图形还会是扇形吗？请同学们画出可能出现的图形。

【设计意图】本活动具有一定的开放性，学生在通过小组合作观察的过程中，分组探索可以得到多种不同的情况。

预设情境：
二、合作提升
活动3：展示学生的初步猜想的作图，分组在几何画板上进行实际操作，验证自己的作图是否正确，如果不正确，为什么？
【设计意图】学生在通过小组合作利用几何画板操作的过程中，简便的修改参数，验证猜想的正确与否，而且可以通过观察临界点的变化情况，更容易找到分类的标准和问题的本质。

问题1：观察对比三个图形，分析扫过面积不同的成因。

学生通过小组讨论，合作交流，教师加以引导将语言规范化。

【设计意图】引导学生对比图形的参数变化，分析扫过面积不同的成因在于线段端点到旋转中心的距离不一定是最值点，培养学生从特殊到一般的数学思想方法。

问题2：你能求出面积吗？求不规则图形的面积通常采用什么方法？
【设计意图】在目标引导下，发挥主体意识类比原有的知识框架进行分类；培养学生的建模能力。

问题3：能否猜想出一般结论？能否对所猜想的结论进行证明？
1．有了上面的几何模型作为铺垫，继续探究活动了，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

2．教师指导学生将性质定理用数学语言进行规范表达，给出完整的证明。

3．分组探究，成果展示。

【设计意图】培养学生的建模能力和答题规范性，让学生对探究中出现的问题或困惑，进行合作学习解决，在合作学习中共享集体思维成果，并进一步达到对当前所学概念能比较全面的理解，提升学习能力，最终完成对所学知识的意义建构。

三、引导发展
教师指导学生进行全班交流：
1．借助实物投影仪，将学生应用的割补方法进行汇总展示。

2．在展示过程中，注意关注学生的表达，若有不全的，教师进行必要的提示。

3．引导学生比较一般结论的适用前提。

【设计意图】
1．让学生在证明的过程中，进一步了解割补法的应用，并且了解从特殊的一般的处理
问题的思想，从而培养学生的发散思维。

2．这里是本节课的一个重点，教师在这里要交代①如何分析；②如何构建几何模型；③规范书写格式；④有条理的表达上面的分析思路，有一个严密的逻辑思维过程。

3．一般结论的应用要注意适用前提这一点应向学生交代清楚。

4．给学生充分的自我展示的机会，尽量发现更多的割补的方法。

活动4：生活中有很多线段旋转扫过的图形的实例，让各小组展示自己的成果，并说说需要通过测量哪些数据进行面积计算。

【设计意图】鉴于学生对线段旋转扫过的图形已有的认识和了解，从学生身边熟悉的事例创设情境。

本活动具有一定的开放性，学生在通过小组合作观察的过程中，分组探索可以得到多种不同的情况。

预设情境1：
【设计意图】先从简单的特殊模型入手，有利于学生发现图形特点。

预设情境2：学生利用汽车雨刷的案例来观察问题，建立数学模型。

A
B
B'
【设计意图】学生凭借直观感受，发散出一般情况，培养学生的发散思维和探究能力，引导学生继续探究图形的基本特点。

预设情境3：学生利用自制的数学工具的变形来观察问题，建立数学模型。

A
B
B'
A'
【设计意图】学生凭借自己对模型的变形，发散出变式，培养学生的发散思维和探究
能力，引导学生继续探究问题的本质。

四、成效评价
问题4：将ABC ∆绕点B 逆时针旋转到'''A B C ∆，使,,'A B C '若90C ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，求线段
AC 扫过的面积. 【设计意图】通过一般模型，评价学生对菱形的性质定理的理解程度；对于新知识的
应用以及建立简单数学模型的能力。

问题5：直线y =x 轴、y 轴于,A B 两点，将直线AB 绕原点逆时针
旋转90︒，求AB 扫过的面积.
【设计意图】通过探究说理题，评价学生对一般情况的理解程度；数学语言的表达规
范程度；形成化归与转化的数学思想；分析能力以及发散思维。

五、回顾反思
问题6：（1）求不规则图形所采取的方法有哪些？
（2）扫过面积有所不同的本质是什么？
（3）在探究证明过程中，你有什么感受体会？
【设计意图】从知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观三个维度对本节课进行
系统的回顾，帮助学生积累属于自己的数学活动经验。

六、课后反馈
课后再登录老师的个人教学空间，通过本节课的微课进行复习，并根据本课题学习的
小组探究过程，完成一篇数学小论文。

【设计意图】作业有较大的弹性，利用翻转课堂体现作业的巩固性和发展性原则，尊
重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。