高斯线型函数 常用表达式
f D ( )
2 D
(
ln 2

)1 2 e
0 2 ) ] D
21
常用的两种激光器的多普勒增宽
原子(或分子)质量为 1.66 1027 mol kg ,并代入波尔兹曼常数 和真空光速有
D 7.16107 T

0
式中 mol 为原子(或分子)量
1
一般原子发光平均寿命为10-5 -10-8 秒， 自然增宽在十分之几兆到几百兆
f N ( ) N 2 ( 0 ) 2 ( N 2) 2
图（1-13）洛仑兹线型函数
11
三种增宽之二：碰撞增宽
碰撞增宽是考虑了发光原子间的相互作用造成的。这种碰 撞会使原子发光中断或光波位相发生突变，即使发光波列 缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽，用 c 表示
0
(
m 12 ) 2kT
2 2kT 0 2 0 ( ln 2)1 2 m c2
在半极大值时对应的频率为
2 2kT 0 1 0 ( ln 2)1 2 m c2
多普勒增宽为
D 2 1 2 0 (
2kT ln 2)1 2 mc 2
[ 4 ln 2(
dnz m ( ) e n 2kT
m v2 z 12 2 kT
d vz
18
气体发光的线型函数
大量同类原子的发光，由于原子的运动速度各不相同，不 同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同。频 率在 , 之间的光强与总光强之比与速度分量为 vz-vz+dv z的原子数占总数的百分比相等
3
谱线宽度
光谱线宽度 定义为相对光强为最大值的一半处的频率 间隔，即：
2 1
式中各频率处光强满足：
f ( 1 ) f ( 2 ) 1 f ( 0 ) 2
光谱曲线是可以用实验方法测量的
4
光谱线型对光与物质的作用的影响
考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内，对应于频率 ~ d 间隔，自发辐射、受激辐射、受激吸收 的原子跃迁数密度公式分别为 自发辐射 dn2 ( ) A21n2 f ( )d
d
以及速度微分和频率微分之间的关系
d vz c
0
代入前式可得高斯型线型函数表 达式：
m 12 f D ( ) ( ) e 2kT
mc 2 0 2 ( ) 2 kT 0
c
0
图(1-17)高斯线型函数
20
高斯线型函数的半宽度
在光源静止时达到线型函数最大值
f D ( 0 ) c
查数学手册可得其傅里叶变换（当然可以积分，但要学会 查手册） U0 U F t U i 2 ( 0 ) 1 2 对应光强分布为
2 U0 I ( ) U ( ) 2 2 4 ( 0 ) 2 (1 2 ) 2
9
洛仑兹线型函数
线形函数是相对光强分布，可写成
2 ln 2 f D ( 0 ) D
1/ 2

0.939 D
f H ( 0 )
2 0.637 H H
实际的光谱线型是均匀增宽线型和非均匀增宽线型的迭加，是“综合 增宽”
23
习题
习题P28: 11，12，13
24
受激辐射 dn2 ( ) B21n2 f ( )d 受激吸收 dn2 ( ) B12 n1 f ( )d
单位时间内总原子数密度与外来光的单色能量密度及光谱 的线型函数有关 总的自发辐射原子数密度 dn2 ( )d A21n2
总的受激吸收原子数密度
14
光的多普勒效应
纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对 速度为v，则光的频率为

1 v c 0 1 v c
式中 0 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v 远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正 值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得
v 0 (1 ) c
图（1-15）碰撞增宽的形成机理
同理，可由傅立叶变换求出由碰撞增宽引起的谱线线型函数
f c ( ) c 2 ( 0 ) 2 ( c 2) 2
12
三种增宽之二：碰撞增宽
当发光原子同时具有碰撞增宽 （与气体压强P成正比） c 和自然增宽 N 时，可以证明所得的线型仍为洛仑兹线型， 其线宽为两者之和
总的受激辐射原子数密度
0
0
B21n2 f ( )d
B12 n1 f ( )d
5
0
入射光比被激原子发光谱线宽度小很多
单位时间内
总的受激辐射原子数密度
B21n2 f ( )d
0

n2 B21 f ( 0 ) d
0

10
自然增宽的线形分布函数
当 0 时，f N ( 0 ) 4
当 1 0
时， f N ( ) f N ( 1 ) f N ( 2 ) 2 1 f N ( 0 ) 4 2 因而洛仑兹半宽度即自然增宽 为
N 2 1 1 2
若在介质中传播时，光速应为 c ，则此时的频率可写 v 成 0 (1 ) c
15
光的横向多普勒效应
当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时， 此时的频率为
1 (
v 2 ) 0 c
式中
v
为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度
一般光的横向多普勒效应量值更小，予以忽略
对于氦氖激光器中氖原子发出的激光0.6328微米，原子量 为20，取T=400K，因此 D 1500 MHz 对于二氧化碳激光器发出的10.6微米波长激光，分子量为 44，同样取T=400K，则 D 60MHz
频宽小很多是因为波长长很多而粒子重量也大很多
22
均匀增宽和非均匀增宽
16
气体发光的多普勒增宽
气体放电管中一个静止原子的发光频率为 0 ，原子的运 动速度为v，在z方向的分量为vz，一般有vz<<c，则接收器 接收到的光频率为
vz ) c
0 (1
图(1-16) 发光原子相对接收器的运动
要得到接受器收到光的线型函数就要知道发光原子的速度 分布规律，即不同速度原子的概率分布
17

气体运动的麦克斯韦分布
麦克斯韦分布律：单位体积内的原子(或分子)数为n，则在 沿某方向（朝向接收器方向）具有速度分量在区间为(vz， vz+ dvz)的原子(或分子)数为
m 12 dnz n( ) e 2kT
m v2 z 2 kT
d vz
式中m为原子(或分子)质量，T为绝对温度，k为波尔兹曼 常数。 速度分量为vz～vz+ dv z的原子数占总数的百分比为
n2 B21 f ( 0 )
这种情况表明总能量密度为 的外来光，只能使频率为 0 附近原子造成受激辐射，跃迁几率与被激原子发光线形函 数有关。(f(v0)此时可近似看作常数,只对pv积分) 此时受激辐射跃迁几率为: 同理受激吸收跃迁几率为:
W21 B21 f ( 0 )
W12 B12 f ( 0 )
dnz f D ( )d n
因而
m v2 z 2 kT
dnz m 12 f D ( )d ( ) e n 2kT
d vz
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多普勒增宽的线型函数、高斯线型函数
由多普勒效应可以导出速度和光源静止时光的频率、光源 运动时光的频率之间的关系
0 (1 0 vz ) vz ( )c c 0
1.4 光谱线增宽
1
光谱线的线型和宽度
用分辨率极高的摄谱仪拍摄出的每一条原子发光谱线都具 有有限宽度，决不是单一频率的光
光谱片
就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的 相对强度也不一样。设某一条光谱线的总光强为I0，频率 附近单位频率间隔的光强为 I ( )，则频率 附近单位频率 间隔的相对光强 I ( ) I 0 表示为
f N ( ) A 4 2 ( 0 ) 2 (1 2 ) 2
由归一化条件可计算出（也可查数学手册的积分表）


0
f N ( )d A 1 A 1
洛仑兹线型函数用原子辐射的平均寿命表达的形式 1 f N ( ) 2 4 ( 0 ) 2 (1 2 ) 2 自然增宽: 作为电偶极子看待的原子作衰减振动而造成的 谱线增宽。
6
入射光比被激原子发光谱线宽度大很多
单位时间内
总的受激辐射原子数密度
n2 B21 0 f ( )d
0
n2 B21 0
此时受激辐射的跃迁几率为: W21 B21 0 同理，受激吸收跃迁几率为： W12 B12 0
在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激跃迁 与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有关，跃迁 几率与被激发原子光谱线型函数无关。(p(v0)此时可近似看 作常数，只对f（v）积分) 7
三种增宽之一：自然增宽
《物理光学》（ 《工程光学2》 ）中讲过，原子发光形成 的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列：
U U 0 e cos 2 0 t
t 2
t 0
式中 为原子自发辐射的平均寿命， 0为余弦函数频率 U 0 I 0 为 t =0时的振幅
I 0 为t =0时的光强
如果发光的每一原子对于谱线增宽的贡献都是相同的，这种增宽为均 匀增宽。自然增宽和碰撞增宽中每一个原子所发的光对谱线内任一频 率都有贡献，遵循洛仑兹线型公式，都是均匀增宽． 不同原子的增宽不同，这种增宽叫非均匀增宽。多普勒增宽中，各种 不同速度的原子对 f D ( ) 中不同频率有贡献。不同原子的作用是不同 的，是非均匀增宽。其线型函数为高斯分布函数 这两种线型函数都是“钟形”曲线，但它 们大不相同