卷积积分与卷积一、摘要：近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。

信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。

卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。

卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。

而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。

二、关键词：信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法三、正文：卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。

对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为：∞f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ≜f1(t)∗f2(t)−∞对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：∞f(n)=∑f1(m)f2(n−m)≜f1(n)∗f2(n)m=−∞1、卷积积分的解法（1）图解法图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。

利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。

如果给定f 1(t )和f 2(t)，要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量，即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤：（1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)；（2）时移，即将f 2(−τ)时移t ，变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)]，当t >0时，将f 2(−τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(−τ)左移t ；（3）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)；（4）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，积分的关键是确定积分限。

一般是将f 1(t )f 2(t −τ)不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。

例1、已知f 1(t )和f 2(t)的波形如图1-1所示，求f (t )=f 1(t)∗f 2(t)。

图1-1解：（1）变量代换，将变量f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，此时波形不变； （2）将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)，图1-2； （3）时移，即将f 2(−τ)时移t ，图1-3；（4）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)，图1-4～8；图1-3图1-2（5）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，图1-9； 当t <4时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0； 当4<t <5时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=2(t −4)t−13；当5<t <6时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=243； 当6<t <7时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=∫2dτ=2(7−t)4t−3；τ图1-8τ图1-7图1-6图1-4图1-5当t >7时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0。

（2）卷积积分的简易算法设f 1(t )的时限为x 1<t <x 2,f 2(t) 的时限为y 1<t <y 2, 且f 2(t)的时限大于f 1(t )的时限, 则首先将x 1、x 2和y 1、y 2两两相加得到4个值，按从小到大的顺序排列，正好是t 的5个取值范围，其对应的卷积积分区间分别为（−∞，x 1）,（x 1，t −y 1）,（t −y 2，t −y 1）,（t −y 2，x 2）, （x 2,+∞）。

具体积分计算如下所示：f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx1−∞=0 t <x 1+y 1f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1x1x 1+y 1<t <x 1+y 2f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1t−y 2x 1+y 2<t <x 2+y 1f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx2t−y 2x 2+y 1<t <x 2+y 2f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞x2=0 t >x 2+y 2；如例1中，f 1(t )的时限为1<t <3,f 2(t) 的时限为3<t <4，将1、3和3、4两两相加得到4个值，则t 的5个取值范围为t <4，4<t <5，5<t <6，6<t <7，t >7，其对应的积分区间分别（−∞，1）,（1，t −3）,（t −4，t −3）,（t −4，3）,（3,+∞）。

代入以上各式得：f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞−∞=0 t <4 f (t )=∫2dτ=2(t −4)t−314<t <5f (t )=∫2dτ=2t−3t−4 5<t <6图1-9f (t )=∫2dτ=2(7−t)3t−4 6<t <7 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞3=0 t >7此结果与图解法相同，当省去了画图，方便了许多。

（3）卷积性质法若ℒ[f 1(t )]=Ϝ1(s), ℒ[f 2(t )]=Ϝ2(s),则ℒ[f 1(t )∗f 2(t )]=Ϝ1(s)Ϝ2(s)然后再求拉普拉斯逆变换。

如例1中，f 1(t )=2[u (t −3)−u(t −4)], f 2(t )=u (t −1)−u(t −3) 有Ϝ1(s )=2s （e −3s −e −4s ）, Ϝ2(s )=1s （e −s −e −3s ）得ℒ[f 1(t )∗f 2(t )]=Ϝ1(s )Ϝ2(s )=2s (e −3s −e −4s)1s(e −s−e −3s )=2s2(e −4s −e −5s −e −6s +e −7s ) 再求逆变换f 1(t )∗f 2(t )= ℒ[Ϝ1(s )Ϝ2(s )]=2[(t −4)u (t −4)−(t −5)u (t −5)−(t −6)u (t −6)+(t −7)u (t −7)]=2{[(t −4)[u (t −4)−u (t −5)]+[u (t −4)−u (t −5)]+(t −7)[u (t −6)−u (t −7)]}显然，结果与上面两种相同。

2、卷积和的解法（1）图解法：卷积和与卷积积分在本质上是一样的，因为积分运算实际上也是一种求和运算，但两者在求解方法上还是有不同之处。

卷积和也可以用图解法求解，但在操作上显得比较繁锁。

例2：已知离散信号f 1(n )和f 2(n)，求卷积和f (n )=f 1(n)∗f 2(n)。

f 1(n )={1 n =0 3 n =12 n =20 else ， f 2(n )={4−n n =0,1,2,30 else解：用图解法求解，如图2-1，画出f 1(m )和f 2(n −m )，由公式f (n )=∑f 1(m )f 2(n −m )∞m=−∞=f 1(n )∗f 2(n )可以看出，当m =0时f 2(n −m ) 与f 1(m )有重叠，这时重叠值需要相乘，f (0)=1×4=4，当m =1时重叠值需要相乘与求和，f (1)=1×3+3×4=15，依此类推, 分别画出m =2，3，4时f 2(n −m )的图，再分别对f 2(n −m )与f 1(m )重叠值相乘与求和，依次得到f (2)=19，f (3)=13，f (4)=7，f (5)=2。

图2-1图2-3图2-2但如果m 的值较大，要画f 2(n −m )的图也会比较多, 而且在找f 2(n −m )与f 1(m )的重叠值时容易出错。

（2）简易算法将其中一个信号时域分解为加权的单位序列和，再利用性质f (n −n 1−n 2)=f 1(n −n 1)∗f 2(n −n 2)求解，这样可以得到一个闭式解。

例2中，f 1(n )=δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2) f 2(n )=4δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2)+δ(n −3)则f (n )=f 1(n )∗f 2(n )=4δ(n )+3δ(n −1)+2δ(n −2)+δ(n −3)+12δ(n −1)+9δ(n −2)+6δ(n −3)+3δ(n −4)+8δ(n −2)+6δ(n −3)+4δ(n −4)+2δ(n −5)=4δ(n )+15δ(n −1)+19δ(n −2)+13δ(n −3)+7δ(n −4)+2δ(n −5)显然，计算结果与图解法相同。

相对而言稍微简单一点，对于比较复杂的运算，计算量可能会比较大。

四、总结：当然，以上提到的只是最一般的解题方法，对于卷积运算，方法有很多。

比如连续信号，卷积性质法还可以利用傅立叶变换；对于离散信号的卷积，还可以图2-5图2-4用对位相乘求和法，解析法，列表法，等等。

通过对卷积积分与卷积和的各种计算方法和特点的归纳，使我们对卷积计算有一个更清楚的认识。

五、参考文献：[1]《信号与系统（第三版）》，徐天成，谷亚林等[2]卷积积分与卷积和解法分析，温卫, 任克强，江西理工大学信息工程学院[3]离散时间序列卷积和的求法，张正强，邢丽红，曲阜师范大学电气信息与自动化学院。