系数矩阵B： a 1 1
1 1 b 1 2b 1
1.当ab-b≠0时，即a≠1且b≠0时，R(A)=R(B)=3，方程 组有唯一解。 2.当a=1,b=1/2时，R(A)=R(B)=2<3,方程组有无穷多解。 3.其他情况，也即当a=1,b≠1/2时，或b=0时， R(A)≠R(B)，方程组无解。
应用
当a、b取何值时 有唯一解？无解？ 有无穷解？
解： 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯型矩阵。
a 1 1 4 A= 1 b 1 3 1 2b 1 4 1 b 1 3 0 1 1-a 4-2a 0 0 ab-b 2ab-4b+1
A: 1 b 1 3 0 1 1-a 4-2a 0 0 ab-b 2ab-4b+1
解：
1 3 -1 （α1T，α2T，α3T）= 0 -2 1 5 3 t 2 -4 3
r3-5r1 r4-2r1
1 0 0 0
3 -2 -12 -10
-1 1 t+5 5
r3-2 0 0
-1 1 t-1 0
向量组A线性相关的充要条件是R(A)<m
所以，t=1时，r=2<3 综上，t=1。
应用
2、线性方程组有无解的判定 • 线性方程组Am*nX=b,有解的充要条件：R(A)=R(B) ① 当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解； ② 当R(A)=R(B)<n时，方程组有无穷多个解。
例1：（P106 习题4-1，5）
讨论线性方程组
aX1+ X2+X3=4 X1+ bX2+X3=3 X1+2bX2+X3=4
3、向量组线性相关性的判断 • 由向量组A:a1,a2,...，am构成的矩阵A=（a1,a2，...，am） ① 向量组A线性相关的充要条件是R(A)<m； ② 线性无关的充要条件是R(A)=m。
例2：
设α1=(1,0,5,2),α2=(3,-2,3,-4),α3=(-1,1,t,3)线性相 关，求参数t。
α1，α2，α3线性相关。
秩相关的公式：
• • • • • • • • • (1)转置后秩不变 (2)r(A)<min(m,n),A是m*n型矩阵 (3)r(kA)=r(A),k不等于0 (4)r(A)=0 -> A=0 (5)r(A+B)<=r(A)+r(B) (6)r(A*B)<=min(r(A),r(B)) (7)r(A)+r(B)-n<=r(A*B) 特别的：A:m*n,B:n*s,A*B=0 -> r(A)+r(B)<=n (8)P,Q满秩方阵(秩等于维数)->r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
矩阵秩的三个应用
应用
1、可逆方阵的判定
• 一个n*n方阵A可逆的充要条件是R(A)=n. 因为，已知A可逆的充要条件为|A|≠0。根据秩的定义，这 与秩为非零子式的最高阶数是相吻合的。 所以，方阵A可逆的充要条件是R(A)=n. 初等变换不改变矩阵的秩，由此可推出，当B、C为 与A同阶的可逆方阵时，有： R(A)=R(BA)=R(AC)=R(BAC).