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三、留数的计算、用留数定理求积分
ez 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 的留数. z
解 因为 z 0 是 f ( z )的 2级极点，
1 d 2 1 2 e z ez lim 21 z 2 所以 Res 2 , 0 z z (2 1)! z 0 dz
3.利用留数定理计算沿闭路复积分.
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作业
习题五: 8(1)(2)(6);
9(1)(2);
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三、在无穷远点的留数*
定义 设函数 f ( z )在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 1 那末积分 f ( z )dz 的值与无关， 则称此定值 2i C 1
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利用留数定理计算复积分 ez 例4 计算积分 2 dz , C为正向圆周: z 2. z( z 1) C 解 z 0 为一级极点, z 1为二级极点,
e Res[ f ( z ), 0] lim z 2 z 0 z( z 1)
C C C
0 柯西-古萨基本定理
2ic1 ，其中c1为负幂项c1 ( z z0 )1的系数.
1 即 c1 f ( z )dz , 称 为 f ( z ) 在 z 0 的 留 数 . 2 i C
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定义
若z0 为 f ( z )的孤立奇点, f ( z ) 在 z0 为中心的
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z z0 ).
z z0
P( z) z 规则3 如果 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末 Q( z )
P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 ) 其中 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 ,
z
e lim 1 z 0 ( z 1)2
z 1 d e 2 Res[ f ( z ),1] lim ( z 1) ( 2 1)! z 1 dz z( z 1)2
z
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返回Leabharlann 结束 ez lim z 1 z
所以 z 0 是 f ( z )的三级极点， 由规则3得
1 d 3 z sin z Res[ f ( z ),0] lim 2 z . 6 ( 3 1)! z 0 dz z
2
计算较麻烦.
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1 1. (2 1)!
e 1 1 1 1 解二 洛朗级数 f ( z ) 2 2 z z z z 2 6
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z
ez 1 例3 求 f ( z ) 5 在 z 0 的留数. z
解
z 0 是 f ( z ) 的四级极点.
C
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2.留数的计算方法 (1)如果 z 0为 f ( z ) 的可去奇点, 则 Res[ f ( z ), z0 ] 0. (2)如果 z 0为 f ( z )的极点, 则有如下计算规则: •规则1 如果 z 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末
注 条件可改:z0是P(z)的非零点，是Q(z)的一级零点 说明 规则3是规则2的特殊情形
P(z) P( z) P ( z0 ) lim Res[ f ( z ) , z0 ] lim ( z z0 ) . z z0 Q( z ) z z 0 Q ( z ) Q ( z 0 ) Q( z0 ) z z0
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P ( z ) z sin z 例1 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
解 在z = 0处的洛朗展开式
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z 1 1 1 1 , 3 1 3! z 5! z
z
z (4)
4 e -1 1 e -1 lim z 5 所以 Re s 5 ,0 z 0 (4 1)! z z
在 0 z 内将 f ( z ) 展成洛朗级数:
...
ez 1 1 1 1 1 1 z 4 , 3 2 5 z 2! z 3! z 4! z 5! 6! z 1 1 所以 Res[ f ( z ),0] c1 . 4! 24
n
上式两端同时沿 C 积分
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f ( z )d z
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
C C
0 高阶导数公式
2 i 柯西积分公式
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
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P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 z 0 都解析， •规则3 设 f ( z ) Q( z )
如果 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , 那末 z0 为 P ( z0 ) f ( z ) 的一级极点, 且有 Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
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P ( z ) z sin z 例2 求 f ( z ) 在 z 0 的留数. 6 Q( z ) z
分析
P (0) P (0) P (0) 0 , P (0) 0 .
z 0 是 z sin z 的三级零点
e z ( z 1) 0, lim 2 z z 1
ez 所以 2 dz z( z 1) C
2iRes[ f ( z ),0] Res[ f ( z ),1]
2i (1 0)
2i .
注 本题也可用复合闭路定理和高阶导数公式计算积分
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内容小结
1.留数的定义(洛朗级数负一次幂项的系数);
2. 计算留数的一般方法; 其中m级极点z0 处留数计算公式：
1 d m 1 Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
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极点 处的留数计算公式 规则2 如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 那末 1 d m 1 Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
特别地 规则1 如果 z 0 为 f ( z ) 的一级极点, 那末
第二节
留 数
第五章
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题
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一、留数的引入
设 z 0 为 f ( z ) 的一个孤立奇点;
C
. z
0
f ( z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数:
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z
利用定义法求留数：将 f ( z ) 展开 成洛朗级数求 c1 .
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二、留数定理
1.留数定理 奇点 z1 , z2 ,, zn ,其他点处解析，那末
为 f ( z ) 在 点的留数， 1 1 记作 Res[ f ( z ), ] f ( z )dz f ( z )dz 2i C 2i C 注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f ( z ), ] c 1
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c1
圆环域内的洛朗级数中负幂项 c1 ( z z0 )1 的系数， 称为 f ( z ) 在 z0处的留数.记作 1 O f ( z )d z R es[ f ( z ), z 0 ] c 1 2 i C
其中C 是 z0 的去心邻域内绕 z0的一简单闭曲线。
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.. .
C
.
函数 f ( z ) 在C内含有限个孤立
n
C
Res[ f ( z ), zk ]. f ( z )dz 2i k 1
说明: 1) 提供计算函数沿闭曲线C积分的一种方法.