K0 K1 K2 s 2 s 1 j2 s 1 j2
2015-1-14 信号与系统
K 0 ( s 2) F ( s) s 2
s2 3 7 2 s 2s 5 s 2 5 s2 3 ( s 1 j 2)(s 2) s 2
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
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s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
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3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
3 例：F ( s) , 求f (t ) 3 2 ( s 1) s
3 2 t f (t ) (9e 6te t e 9 3t )u (t ) 2
t t
2理求解
留数定理：若函数g(s)在闭合区域中除有限个奇点外 处处解析，则有：
g ( s)ds 2j [ g ( s)的留数]
c
1 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j 1
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1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
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2s 2 3s 3 例：F ( s) , 用留数法求 f (t ) ( s 1)(s 2)(s 3)
解： r1 [(s 1) F ( s)e st ] |s 1 e t
r2 [(s 2) F ( s)e ] |s 2 5e
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
2 2 4 5 s2 5 ( s 1) 5 2 7 1 7 1 2 5 s 2 ( s 1) 4 5 s 2 ( s 1) 2 4
f (t )
7 2 t 2 t 4 e e cos( 2t )u (t ) e t sin( 2t )u (t ) 5 5 5
t
(t 0)
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四、求解过程中注意灵活利用性质求解
se 例： (1) F ( s ) 2 s 5s 6 1 (2) F ( s ) 2 2 ( s 3)
1 (3) F ( s ) ln s s
5 s
s (4) F ( s ) s 1 e
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
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4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j
反变换式中会出现振荡的形式：
f (t ) k1e( j )t k2 e( j )t 2e t [c cos t d sin t ]
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
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A B
1 st F ( s ) e ds 2j c Res[F ( s)e ]
st
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C
留数求解公式：
pi为一阶极点：ri ( s pi ) F ( s )e st |s pi 1 d k 1 k st pi为k阶极点：ri [( s p ) F ( s ) e ] | s pi i k 1 (k 1)! ds
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一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
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作业：
4-4: (4)(8)(12)(14)(16)(19)(20) 4-5
预习4-5 4-6 节
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例题求解
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
s2 3 解：F ( s) [(s 1) 2 4](s 2) s2 3 ( s 1 j 2)(s 1 j 2)(s 2)
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
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二、部分分式分解法
（要求熟练掌握的一种方法）
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：
A(s) am s am1s ... a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn1s n1 ... b1s b0
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例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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st 2t
r3 [(s 3) F ( s)e st ] |s 3 6e 3t
f (t ) e 5e
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t
2t
6e (t 0)
3t
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s2 例：已知F ( s) , 用留数定理求f (t ) 2 s( s 1)
s 2 st e |s 0 2 解：r1 2 ( s 1) d s 2 st t r2 e ( 2 t )e ds s s 1 f (t ) 2 (2 t )e
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
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2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
m
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1 A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点
B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
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对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。