含字母参数的二次函数问题
引入
1.什么是函数？
2.我们已经学过哪些函数？
3.对于函数我们需要掌握哪些知识？
二次函数知识点回顾
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b
x 2-
=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶
点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2
ax y =；②k ax y +=2
；③
()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2.
它们的图像特征如下： 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式:
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、
没有交点；当二次函数
c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2
＋bx ＋c=0的根．
（3）当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元
二次方程02
=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2
+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02
=++c bx ax 没有实数根．
练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。

（1）2
25y x x =++ （2）2
261y x x =+-
（3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-
练习2．请你将2
y ax bx c =++配方并完成下列问题：
（1）0a >时，① ____x =时，y 取最小值，min ____y =；
② 2b
x a <-
时，y 随x 的增大而 . ③ 2b
x a
>-时，y 随x 的增大而 .
（2）0a <时，① ____x =时，y 取最大值，max ____y =；
② 2b
x a <-时，y 随x 的增大而 . ③ 2b
x a
>-时，y 随x 的增大而 .
练习3．求下列二次函数与x 轴的交点坐标
（1）2
25y x x =++ （2）2
261y x x =+-
（3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-
中考链接
1. （2018杭州中考22题，12分） 设二次函数
（a ，b 是常数，a≠0）
（1）判断该二次函数图象与x 轴交点的个数，说明理由．
（2）若该二次函数的图象经过A （-1，4），B （0，-1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
（3）若a+b ＜0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a ＞0．
2. （2017杭州中考22题，12分）
在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=（x+a ）（x -a -1），其中a ≠0。

（1）若函数y 1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y 2=ax+b 的图象与y1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；
（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围。

3. （2016杭州中考22题，12分）
已知函数()212,0y ax bx y ax b ab =+=+≠.在同一平面直角坐标系中.
（1）若函数1y 的图像过点（-1,0），函数2y 的图像过点（1,2），求a ，b 的值. （2）若函数2y 的图像经过1y 的顶点.①求证：20a b +=；②当3
12
x <<时，比较1y ,2y 的大小.
课后作业
1.（2015年杭州中考20题，10分） 设函数[](1)(1)(3)y x k x k =--+-（k 是常数）
（1）当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值。

2.（2018下城、拱墅、滨江一模第22题）
在平面直角坐标系中，已知二次函数)0(32
≠-+=a bx ax y 的图象过点），（7-1。

（1）若8=-b a ，求函数的表达式； （2）若函数图象的顶点在x 轴上，求a 的值；
（3）已知点P ),21
(m 和Q ),2
1(n a -都在该函数图象上，试比较m 、n 的大小。

3.（2018上城区一模第22题）
已知y 关于x 的二次函数)0(2y 2
≠--=a bx ax （1）当4,2==b a 时，求该函数图象的顶点坐标。

（2）在（1）条件下，P ）（t m ,为该函数图象上的一点，若P 关于原点的对称点P’也落在该函数图象上，求m 的值。

（3）当该函数的图象过点）（0,1时，若A ），（121
y ，B ）（2,3
21y a
-是该函数图象上的两点，试比较1y 和2y 的大小。

4.（2018江干区一模第22题）
二次函数n mx x y ++=2
的图象经过点A ），（a 1-，B ），（a 3，且最低点的纵坐标为-4. （1）求m ，n 和a 的值；
（2）若直线2+=kx y 经过点A ，求k 的值；
（3）记（1）中的二次函数图象在点A ，B 之间的部分图象为G （包含A ，B 两点），若直线2+=kx y 与G 有公共点，请结合图象探索实数k 的取值范围。

（注意：请在答题卡的直角坐标系中画出解题时使用的函数草图）。