洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用一、选择题： 1、曲线3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ）A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y2．设21sin x y x-=，则'y =（ ）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---3．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）．A ．18B ．38/3C ．16/3D ．164.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）A 、5 、-15B 、5 、 4C 、-4、 -15D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增B 、有增有减C 、单调递减D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ）A. 2eB. eC. ln 22D. ln 27、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）A. 415B. 417C. 2ln 21D. 2ln 28、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图象可能是二、填空题11、设函数f (x )=ax2+c (a ≠0).若100()()f x dx f x =⎰，0≤x 0≤1,则x 0的值为_____12、若f(x)=x3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________ 13.若函数y=x 3－32x 2－a 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值____ 14、40(|1||3|)x x dx -+-=⎰ __________。
15、如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功_______三、解答题：16、直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.17、已知函数32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.18、3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，求a 之值19、设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
20、水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.t t t e t V t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-+-+<≤=--+<≤ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i=）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e=计算）.21、已知函数1()ln(1),(1)nf x a xx=+--其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.《导数、定积分及应用测试》参考答案：1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）11、解：11231001()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203a c ax c =+=+0x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分18001060..=⎰xdx 。
16题、解方程组⎩⎨⎧-==2x x y kx y 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- 又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。
（2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。
设切点为),(00y x M ，则03003x x y -=由)1(3)('200-=x x f 知，切线方程为 ))(1(30200x x x y y --=- 又点)16,0(A 在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得 830-=x ，解得 20-=x 所以切点为)2,2(--M ，切线方程为 0169=+-y x 18题、要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。
02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。
03当0a >时()0f x x '=⇒=11a ≤⇒≥时()f x在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减。
所以min()min (1),f x f f ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400410f a a f -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩当11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。
综上可知a=4.19题、 (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '()0,f x = 则 1x e= 列表如下x1(0,)e1e1(,1)e(1,)+∞ '()f x+ 0 -- ()f x单调增极大值1()f e单调减单调减(2) 在 12a xx > 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以1ln 2ln a x x > 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e≤=-,为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2ae >-,即ln 2a e >- 20题、（1）①当时010t <≤，124()(1440)5050,t V t t t e =-+-+<化简得214400t t -+>，解得410,010,04t t t t <><≤<<或又故.②当012t <≤1时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<,化简得，(10)(341)0t t --<解得4110,012,0123t t t <<<≤<≤又1故1.综上得，04t <<,或012t <≤1.故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。
（2）由（1）知，()V t 的最大值只能在(4,10)内内达到。
由11'244131()(4)(2)(8)424t t V t e t t e t t =-++=-+-,令'()0V t =，解得8t =（2t =-舍去）。
当t 变化时，'()V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在8t =时取得最大值2(8)850108.32V e =+=（亿立方米）。
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。
21题、（I ）()f x 的定义域为{}1x x >，当2n =时21()ln(1),1)f x a x x =+--（/2/2312(1)()ln(1),.1)1)a x f x a x x x ⎡⎤--=+-=⎢⎥--⎣⎦（（1）当0a >时，由/()0f x =得1211,11,x x =+>=/123()()(),1)a x x x x f x x ---=-（当1,1x ⎛∈+ ⎝时，/()0,f x <()f x 单调递减；当1x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，/()0,f x >()f x 单调递增。
2）当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值。