结论 （1）求函数 f ( x ) 的 不定积分就是求 f ( x ) 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原 函数，再加上一个常数 C 即可。 （2）检验积分结果正确与否的方法是：积 分结果的导函数等于被积函数。 （3）不是每个函数在定义区间上都有原函 数；在 定义区间上的连续函数一定有原函数 （即：一定有不定积分）。
1 2x
2
dx
1 1 （1 x 2） x2 dx dx 2 dx 解：原式 2 2 2 x 1 x x (1 x )
1 arctan x C . x
(3)
1 x2

x
4
dx
dx （x 1
解：原式
（x 4 1 ） 1 1 x

5 x 3e x
dx
2 2 1 5 x 3 e x ( ) dx ( ) ( ) dx 2 2 2 2 1 5 x 3 e x ( ) ( ) C. 2(ln 5 ln 2) 2 2(1 ln 2) 2

2 2
例 7 已知一曲线 y=f(x) 在点(x, f(x))处的切线斜率为 sec x+sinx，且此曲线与 y 轴的交点为(0, 5)，求此曲线 的方程.
积 分 变 量
任 意 常 数
3.如何求不定积分
例1
求
sin xdx
解： 因为
所以
( cos x) sin x
是 sin x 的一个原函数，从而有
cos x sin xdx c Nhomakorabeas x C
例2
求
1 1 x 2 dx
1 解： 因为 (arctan x) 2 1 x
(12)
x a C; (13) a x dx ln a (14 ) shxdx chx C ;
e
x
dx e C;
x
(15 )
ch xdx shx C .
五、 不定积分的求法：
1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分） 例5 求下列函数的不定积分 (1) 解
3 3 ( 3) (cos x 5 x )dx x 1 1 x 5 x3 3ln| x | c 解:原式 sin x 1 l n5 1 3 4 x 5 3 3 sin x 3 ln | x | x c ln5 4
x
例6 求下列函数的不定积分
( 2) F ( x )dx F ( x ) c 或 dF ( x ) F ( x ) c
定理2
kf ( x )dx k f ( x )dx
n n i
（k 是常数，k 0)
定理3 [ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
的全部积分曲线
所组成的积分曲线族。其方程为 y F ( x ) c .
如下图所示：
y
y F ( x) c
斜率 f ( x )
y F ( x)
0
x
x
例4 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切
线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知 f ( x ) 2 x ,
基 本 ( 3) 积 分 ( 4) 表
(2)
( 5)
( 6) (7)
1 x C ( 1); x dx 1 dx x ln | x | C; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C; 1 1 x 2 dx arcsin x C arccosx C; cos xdx sin x C ;
1 所以 arctan x 是 的一个原函数，从而有 2 1 x
1 1 x 2 dx arctan x c
例3 求 因为

1 dx x
1 x ( x 0),
ln | x |
1 所以 ln | x | 是 的一个原函数, 从而有 x

1 dx ln | x | c x
x
2
xdx .
5 2
1 x 根据幂函数的积分公式 x dx C 1 5 1 7 x2 2 2 C x C . （恒等变形法） 5 7 1 2
2 x xdx x dx
( 2)
(3 x
2
2
4 sin x 1) dx
解:
3 ( 3 x 4 sin x 1 ) dx x 4 cos x x C

sin xdx cos x C ;
( 8)
( 9)
基 本 积 分 表

2 csc xdx cot x C ;
2 sec xdx tan x C;
(10) sec x tan xdx sec x C ;
(11) csc x cot xdx csc x C ;
成立，则称函数
的一个原函数。
F ( x) 为函数
在该区间上
sin x cos x , x ( , ), 例
sinx 是 cos x 在I (,)上的一个 原函数 。
又因为： ( x 5 )
5
5x
4
( x 1) 5x
5
4
( x 3) 5x
即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
2 xdx x C , f ( x ) x C,
2
2
由曲线通过点（1，2）
C 1,
2 y x 1. 所求曲线方程为
三、不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
(1) [ f ( x )dx ] f ( x ) 或 d [ f ( x )dx ] f ( x )dx
2

2
1 1 x
2
）dx
x3 x arctan x C . 3
( 4)

1 cos x dx 2 x sin 2
2
解：原式

2( 1 cos2 x) 2 (1 cos x) dx dx 1 cos x

2( x sin x) C.
(5)
2 2 csc (csc x 1 ) dx 解：原 式 xdx dx
六、小结
F ( x ) f ( x ) ； 1. 原函数的概念：
2. 不定积分的概念： f ( x )dx F ( x ) C ； 3. 基本积分表； 4. 求微分与求积分的互逆关系；
5. 不定积分的（线性）性质；
6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为
基本积分表中的积分。
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质
四、基本积分公式
五、不定积分的求法
前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基
本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问
题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数
的导数或微分，求此函数。
例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意
解
2 f ( x ) sec x sinx, 2 f ( x)是sec x sinx的一个原函数。
2
由 sec x sin x dx tan x cos x C ,
2


及
f (0) 5, 得 C 6,
所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
所以显然 都是
5
5
4
( x c) 5x
5
5
4
x ，x 1 ，x 3 ，x c
5
5x
4
的一个原函数。
★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。 （3）若 F ( x)为 表示 的一个原函数，则 F ( x) C
推论
f ( x)dx f ( x)dx
i 1 i 1 i
四、基本积分公式
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。 将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理） 可以得出基本积分公式（基本积分表）。
(1)
kdx kx C
( k是常数);
时刻
t 的速度 v v(t ) ，要求物体的运动方程：
s s(t ) 。这类问题在数学中归结为求导运算
的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。
一、原函数与不定积分的概念
1.原函数：
设
是定义在某区间上的已知函数，如果
存在一个函数 F ( x ) ，使对于该区间任意
x
，
都有关系式：
F ( x) f ( x) 或 dF( x) f ( x)dx
的所有原函数。
2. 不定积分的定义：
设 F ( x)是 数 在区间I上的一个原函数，则函 的全体原函数 F ( x) C（c为任意常数）
称为
在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x )dx . 即：
被 积 积 分 函 符 数 号
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式
二、不定积分的几何意义
设函数
f ( x)
在某区间上的一个原函数为 F ( x ) ，则
y F ( x ) 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而
y F ( x ) c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上