高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。

那么，有哪些求函数单调性的方法呢？
方法一：定义法
对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x
（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；
（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。

例如：根据函数单调性的定义，证明：函数
在 上是减函数。

要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为
0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24
x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。

方法二：性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：
1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；
2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。

这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。

方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）
对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，
可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，
若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。

例如，求函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。

解：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
方法四：图像法
画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。

例如，画出函数22||1
y x x
=-++图象并写出函数的单调区间。

解：
2
2
21(0)
21(0)
x x x
y
x x x
⎧-++≥
⎪
=⎨
--+<
⎪⎩
即
2
2
(1)2(0)
(1)2(0)
x x
y
x x
⎧--+≥
⎪
=⎨
-++<
⎪⎩
如图所示，单调增区间为(,1][0,1]
-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)
-+∞
和
方法五：导数法
函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)
a b内，
如果'()0
f x>，那么函数()
y f x
=在这个区间内单调递增，
如果'()0
f x<，那么函数()
y f x
=在这个区间内单调递减。

例如，求函数3
2
)
(2
4+
-
=x
x
x
f的单调区间。

解：函数)
(x
f的定义域为R，x
x
x
x
x
x
f)1
)(
1
(4
4
)
(4+
-
=
-
=
'
令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．
∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞；
令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，
∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．
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